Phương trình bậc 2 một ẩn là nội dung không mấy xa lạ, cách giải phương trình bậc 2 và một số dạng toán cũng đã được giới thiệu với các em ở các lớp học trước.
Bạn đang xem: Bài tập phương trình bậc 2
Trong bài viết này chúng ta sẽ hệ thống lại một số dạng bài tập và cách giải đối với phương trình bậc 2 một ẩn như: Giải và biện luận phương trình bậc 2 (Giải phương trình bậc 2 chứa tham số m); Xác định tham số m để phương trình bậc 2 có nghiệm thỏa điều kiện cho trước; Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai; Phương trình quy về phương trình bậc hai; Giải hệ phương trinh bậc 2 hai ẩn.
I. Lý thuyết về Phương trình bậc 2 (tóm tắt)
1. Giải và biện luận phương trình bậc 2
• Phương trình bậc 2 một ẩn: ax2 + bx + c = 0 (a≠0) (*)
Δ = b2 - 4ac
♦ Nếu Δ 0 ⇔ Tập nghiệm:
2. Định lý Vi-ét
• Nếu (*) có 2 nghiệm x1 và x2 thì:
• Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc 2:
- Nếu a + b + c = 0
- Nếu a - b + c = 0
• Nếu hai số x và y có S = x + y và P = x.y thì x, y là nghiệm của phương trình bậc 2: t2 - St + P = 0.
II. Các dạng Bài tập phương trình bậc 2 một ẩn
° Dạng 1: Giải và biện luận theo tham số m phương trình bậc 2 (PT bậc 2 chứa tham số)
* Phương pháp: Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0.
♦ Cách giải: Xét các trường hợp đặc biệt:
◊ a + b + c = 0
◊ a - b + c = 0
◊ b = 2b" (hệ số b chẵn)
◊ Phương trình dạng x2 - Sx + P = 0 (nhẩm nghiệm)
♦ Biện luận:
◊ Xét trường hợp a = 0.
◊ Khi a ≠ 0, xét dấu tích ac và tính Δ = b2 - 4ac.
* Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a)
b)
c)
° Lời giải ví dụ 1:
a) Vì a + b + c =
b) Ta có:
⇒ Phương trình đã cho có 2 nghiệm
c) Xét trường hợp m = 1: Phương trình đã cho có nghiệm x = -1;
Trường hợp m ≠ 1: Ta có a - b + c = 0 nên phương trình đã cho có 2 nghiệm:
* Ví dụ 2: Giải biện luận các phương trình sau:
a) (m+1)x2 + (3m+1)x + 2(m-1) = 0.
b)
° Lời giải ví dụ 2:
a) (m+1)x2 + (3m+1)x + 2(m-1) = 0. (*)
• Trường hợp m = -1: Phương trình (*) trở thành:
-2x - 4 = 0 ⇒ x = -2 là nghiệm của phương trình.
• Trường hợp m ≠ -1: Δ = m2 + 6m + 9 = (m+3)2
◊ m = - 3 thì Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép:
◊ m ≠ - 3 thì Δ > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
b) (*)
- Điều kiện x≠2 và x≠0.
- Quy đồng khử mẫu ta được:
(*) ⇔ mx2 - 3x + 2m = 0
• Trường hợp m = 0: Phương trình trở thành: -3x = 0 ⇔ x = 0 (loại).
• Trường hợp m ≠ 0: Δ = 9 - 8m2
◊ Δ phương trình vô nghiệm
◊ Δ = 0 ⇔
Với
Với
◊ Δ > 0 ⇔
m = 1: PT có nghiệp đơn x = 2
- Theo bài ra, Phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia, nên không mất tính tổng quát khi giả sử x2 = 3.x1, khi thay vào (1) suy ra:
⇔ m2 + 2m + 1 = 4(3m-5)
⇔ m2 - 10m + 21 = 0
⇔ m = 3 hoặc m = 7
◊ TH1: m = 3, PT (*) trở thành 3x2 – 8x + 4 = 0 có hai nghiệm x1 = 2/3 và x2 = 2 thỏa mãn điều kiện.
◊ TH2: m = 7, PT (*) trở thành 3x2 – 16x + 16 = 0 có hai nghiệm x1 = 4/3 và x2 = 4 thỏa mãn điều kiện.
- Kết luận: m = 3 thì pt có hai nghiệm là 2/3 và 2; m = 7 thì pt có hai nghiệm 4/3 và 4.
* Ví dụ 2: Cho phương trình: (m+1)x2 - 4m(m+1)x - m = 0. Tìm m để phương trình có nghiệm kép và tính nghiệm kép đó.
° Lời giải ví dụ 2:
- Để phương trình có nghiệm kép thì:
a = m+1 ≠ 0 và Δ" = 4m2(m+1)2 + m(m+1)=0
⇔ m≠-1 và m(m+1)(2m+1)2 = 0
Giải PT: m(m+1)(2m+1)2 = 0 ta được m = 0; m = -1; m = -1/2;
Đối chiếu điều kiện ta loại nghiệm m = -1; nhận 2 nghiệm m = 0 và m =-1/2;
- Với m = 0, ta có nghiệm kép là:
- Với m = -1, ta có nghiệm kép là: x = -1.
* Ví dụ 3: Cho phương trình: x2 - 2x + m = 0 (*)
Xác định m để PT trên có hai nghiệm phân biệt mà nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia.
° Lời giải ví dụ 2:
- Để PT có hai nghiệm phân biệt thì:
Δ" = 1-m>0 ⇔ m 1, x2 là nghiệm của PT không mất tính tổng quát khi giả sử
- Mà theo Vi-ét ta có:
- Giải PT (**) này ta được 2 nghiệm x2 = 1 và x2 = -2
- Thay x2 = 1 vào PT (*) ta được m = 1 (loại, do không thỏa điều kiện m2 = -2 vào PT (*) ta được m = -8 (nhận)
- Kết luận: m = -8 thì PT x2 - 2x + m = 0 có 2 nghiệm phân biệt thỏa nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia.
° Dạng 3: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
* Phương pháp: Phương trình bậc 2 một ẩn: ax2 + bx + c = 0 (a≠0)
- Có 2 nghiệm x1 và x2 nếu:
• x1 2 ⇔ P
• x1 ≤ x2
• x1 ≥ x2 > 0 ⇔
* Ví dụ: Cho phương trình: (m2+1)x2 + 2(m2-1)x - (m2-1) = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương.
° Lời giải
- Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi:
7) Phương trình chưa dấu giá trị tuyệt đối
8) Phương trình chứa ẩn trong dấu căn thức
* Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) (x - 1)(x + 5)(x2 + 4x + 8) + 40 = 0 (*)
b) x4 - 3x2 + 4x2 - 3x + 1 = 0 (**)
° Lời giải:
a) (x - 1)(x + 5)(x2 + 4x + 8) + 40 = 0 (*)
- Đặt t = (x - 1)(x + 5) = x2 + 4x - 5
⇒ x2 + 4x + 8 = x2 + 4x - 5 + 13 = t + 13
- Vậy (*) ⇔ t(t + 13) + 40 = 0
⇔ t2 + 13t + 40 = 0
⇔ t = -5 hoặc t = -8;
• Với t = -5 ⇒ x2 + 4x - 5 = -5
⇔ x2 + 4x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -4.
• Với t = -8 ⇒ x2 + 4x - 5 = -8
⇔ x2 + 4x +3 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = -3.
- Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {-4; -3; -1; 0}.
b) x4 - 3x2 + 4x2 - 3x + 1 = 0 (**)
- Vì x = 0 không phải là nghiệm nên chia 2 vế cho x2≠0 ta được:
(**)
Đặt , |t|≥2 ta được: t2 - 3t + 2 = 0
- Giải PT theo t (nhẩm nghiệm a + b + c = 0) ta được: t = 1 (loại, do không thỏa điều kiện |t|≥2) và t = 2(nhận).
- Với t = 2 ⇒
° Dạng 5: Giải hệ phương trình bậc 2 chứa hai ẩn
* Phương pháp:
• Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai: Rút một ẩn ở pt bậc nhất, thay vào pt bậc 2 ta được pt bậc 2 chứa 1 ẩn
• Hệ đối xứng (là hệ khi đổi vai trò giữa x và y ta thấy các pt không đổi): Đặt hai ẩn phụ S = x + y và P = x.y. Tính S, P suy ra x và y.
* Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:
° Lời giải ví dụ 1:
- Ta có:
(*)
- Với y = 1 ta được x = 4;
- Với y=-7/4 ta được x = -17/4
- Kết luận: Vậy hệ có 2 cặp nghiệm là: (4;1) và (-17/4; -7/4).
* Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:
° Lời giải ví dụ 2:
- Ta đặt: S = x + y và P = x.y khi đó:
(*)
• Từ P + S = 5 ⇒ P = 5 - S; thay P vào P.S = 6 ta được:
(5 - S)S = 6 ⇔ 5S - S2 = 6 ⇔ S2 - 5S + 6 = 0
⇔ S = 2 hoặc S = 3
- Với S = 2 ⇒ P = 3, x và y là nghiệm của phương trình:
t2 - 2t + 3 = 0; Ta có
• Cả 2 nghiệm của f(x,m) không thuộc (α; β) tức là:
+ Với
+ Với
- Kết luận: Vậy với -2 ≤ m ≤ 0 tì pt (*) có nghiệm thuộc khoảng <-1,1>.
Ngoài cách dùng tam thức bậc 2 bài toán tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc 2 có nghiệm trong khoảng cho trước có thể giải bằng phương pháp sử dụng bảng biến thiên.
Khi đó chuyển hàm f(x,m) về dạng hàm g(x) = h(m). Đặt y = g(x) (có đồ thị (C) là đường thẳng hoặc đường cong); và y = h(m) (có đồ thị (Δ) là đường thẳng nằm ngang). Như vậy, bài toán trên được đưa về dạng toán " Tìm m để (Δ) cắt (C) tại n điểm phân biệt". Lập bảng biến thiên của hàm y = g(x) và từ BBT sẽ đưa ra kết luận giá trị m cần tìm.
* Ví dụ: Cho phương trình: x2 - 4x + 3 + 4m = 0, (*)
- Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm thuộc <-1,1>
° Lời giải:
- Ta có: (*) ⇔ x2 - 4x + 3 = -4m
- Đặt y = x2 - 4x + 3 (C) và y = -4m (Δ).
- Lập bảng biến thiên của hàm y = x2 - 4x + 3
- Từ bảng biến thiên ta thấy để pt (*) có nghiệm trong khoảng <-1;1> thì:
0 ≤ -4m ≤ 8 ⇔ -2 ≤ m ≤ 0.
- Vậy -2 ≤ m ≤ 0 thì pt (*) có nghiệm nằm trong khoảng <-1;1>.
Xem thêm: Chứng Minh Vuông Góc Lớp 7, 10 Cách Chứng Minh Hai Đường Thẳng Vuông Góc
→ Đối với chương trình lớp 10 chúng ta thường sử dụng các giải vận dụng tam thức bậc 2, cách giải bằng bảng biến thiên (hoặc đồ thị) thường ở lớp 12 các em mới sử dụng.