Vận dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để giải các dạng bài tập là một trong những nội dung kiến thức quan trọng không chỉ trong chương trình lớp 8 mà chúng còn được sử dụng thường xuyên ở các lớp học sau này.
Bạn đang xem: Bài tập tổng hợp về hằng đẳng thức
Hiểu được điều đó, bài viết này sẽ hệ thống lại các dạng bài tập vận dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ cùng các ví dụ cụ thể để các em có thể nắm vững kiến thức về các hằng đẳng thức, rèn luyện được kỹ năng biến đổi 7 hằng đẳng thức 1 cách linh hoạt trong các dạng toán.
I. Kiến thức cần nhớ về 7 hằng đẳng thức
1. Bình phương của một tổng
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
* Ví dụ Bài 16 trang 11 sgk toán 8 tập 1: Viết dưới dạng bình phương của 1 tổng hoặc 1 hiệu
a) x2 + 2x + 1 = (x)2 + 2.(x).(1) + (1)2 = (x+1)2
b) 9x2 + y2 + 6xy = 9x2 + 6xy + y2 = (3x)2 + 2.(3x).(y) + (y)2 = (3x+y)2
2. Bình phương của một hiệu
(A – B)2 = A2 – 2AB + B2
* Ví dụ Bài 16 trang 11 sgk toán 8 tập 1: Viết dưới dạng bình phương của 1 tổng hoặc 1 hiệu
c) 25a2 + 4b2 - 20ab = 25a2 - 20ab + 4b2 = (5a)2 - 2.(5a).(2b) + (2b)2 = (5a+2b)2
d)
3. Hiệu hai bình phương
A2 – B2 = (A – B)(A + B)
* Ví dụ: Viết dưới dạng tích biểu thức: 4x2 - 9
* Lời giải:
- Ta có: 4x2 - 9 = (2x)2 - (3)2 = (2x-3)(2x+3)
4. Lập phương của một tổng
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
* Ví dụ Bài 26 trang 14 sgk toán 8 tập 1: Tính
a) (2x2+3y)3 =(2x2)3 + 3(2x2)2.(3y) + 3(2x2).(3y)2 + (3y)3 = 8x6 + 36x4y + 54x2y2 + 27y3
5. Lập phương của một hiệu
(A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3
* Ví dụ Bài 26 trang 14 sgk toán 8 tập 1: Tính
b) 
6. Tổng hai lập phương
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
* Ví dụ: Viết dưới dạng tích x3 + 64
x3 + 64 = x3 + 43 = (x+4)(x2-4x+42) = (x+4)(x2-4x+16)
7. Hiệu hai lập phương
A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
* Ví dụ: Viết dưới dạng tích 8x3 - y3
8x3 - y3 = (2x)3 - y3 = (2x-y)<(2x)2 - (2x).y + y2> = (2x-y)(4x2 + 2xy + y2)
* Chú ý: a+b= -(-a-b) ;
(a+b)2= (-a-b)2 ;
(a-b)2= (b-a)2 ;
(a+b)3= -(-a-b)3 ;
(a-b)3=-(-a+b)3
II. Các dạng toán áp dụng 7 hằng đẳng thức
• Dạng 1 : Tính giá trị của biểu thức
Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức : A = x2 – 4x + 4 tại x = -1
* Lời giải.
- Ta có : A = x2 – 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2
- Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2=(-3)2= 9
⇒ Kết luận: Vậy tại x = -1 thì A = 9
• Dạng 2 : Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến
Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)
* Lời giải.
- Ta có: A =(x – 1)2 + (x + 1)(3 – x) = x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x = 4 : hằng số không phụ thuộc vào biến x.
• Dạng 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Ví dụ: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 – 2x + 5
* Lời giải:
- Ta có : A = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4
- Vì (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x.
⇒ (x – 1)2 + 4 ≥ 4 hay A ≥ 4
- Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 4, Dấu "=" xảy ra khi : x – 1 = 0 hay x = 1
⇒ Kết luận GTNN của A là: Amin = 4 ⇔ x = 1
• Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Ví dụ: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 4x – x2
* Lời giải:
- Ta có : A = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x2 = 4 – (4 – 4x + x2) = 4 – (x2 – 4x + 4) = 4 – (x – 2)2
- Vì (x – 2)2 ≥ 0 với mọi x ⇔ -(x – 2)2 ≤ 0 với mọi x
⇔ 4 – (x – 2)2 ≤ 4
⇔ A ≤ 4 Dấu "=" xảy ra khi : x – 2 = 0 hay x = 2
⇒ Kết luận GTLN của A là: Amax = 4 ⇔ x = 2.
• Dạng 5 : Chứng minh đẳng thức bằng nhau
Ví dụ: Chứng minh đẳng thức sau đúng: (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)
* Lời giải:
- Đối với dạng toán này chúng ta biến đổi VT = VP hoặc VT = A và VP = A
- Ta có: VT = (a + b)3 – (a – b)3
= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3
= 6a2b + 2b3
= 2b(3a2 + b2) = VP (đpcm).
⇒ Kết luận, vậy : (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)
• Dạng 6 : Chứng minh bất đẳng thức
- Biến đổi bất đẳng thức về dạng biểu thức A ≥ 0 hoặc A ≤ 0. Sau đó dùng các phép biến đổi đưa A về 1 trong 7 hằng đẳng thức.
Ví dụ 1: Chứng minh biểu thức A nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến, biết: A = x2 - x + 1
* Lời giải:
- Ta có:
- Vì
Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức B nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x, biết: B = (2-x)(x-4)-2
* Lời giải:
- Ta có: B = (2-x)(x-4) - 1 = 2x - 8 - x2 + 4x - 2 = -x2 + 6x - 9 - 1 = -(x2 - 6x + 9) - 1 = -(x-3)2 - 1
- Vì (x-3)2 ≥ 0 ⇔ -(x-3)2 ≤ 0 ⇒ -(x-3)2 - 1 ≤ -1 • Dạng 7: Phân tích đa thức thành nhân tử
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x2 – 4x + 4 – y2
* Lời giải:
- Ta có : A = x2 – 4x + 4 – y2 <để ý x2 – 4x + 4 có dạng hằng đẳng thức>
= (x2 – 4x + 4) – y2
= (x – 2)2 – y2
= (x – 2 – y )( x – 2 + y)
⇒ A = (x – 2 – y )( x – 2 + y)
Ví dụ 2: phân tính A thành nhân tử biết: A = x3 – 4x2 + 4x
= x(x2 – 4x + 4)
= x(x2 – 2.2x + 22)
= x(x – 2)2
Ví dụ 3: Phân tích B thành nhân tử biết: B = x 2 – 2xy – x + 2y
= (x 2– x) + (2y – 2xy)
= x(x – 1) – 2y(x – 1)
= (x – 1)(x – 2y)
Ví dụ 4: Phân tích C thành nhân tử biết: C = x2 – 5x + 6
= x2 – 2x – 3x + 6
= x(x – 2) – 3(x – 2)
= (x – 2)(x – 3)
• Dạng 8: Tìm giá trị của x
Ví dụ: Tìm giá trị củ x biết: x2( x – 3) – 4x + 12 = 0
* Lời giải.
x2 (x – 3) – 4x + 12 = 0
⇔ x2 (x – 3) – 4(x – 3) = 0
⇔ (x – 3) (x2 – 4) = 0
⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0
⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0
⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2
⇒ Kết luận, vậy nghiệm : x = 3; x = 2; x = –2
• Dạng 9 : Thực hiện phép tính phân thức
Ví dụ: Tính giá trị của phân thức tại x = –1
* Lời giải:
- Ta có :
- Khi x = -1 :
⇒ Kết luận, vậy: I = 1/2 tại x = -1 .
III. Bài tập áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Bài 17 trang 11 SGK toán 8 tập 1: Chứng minh rằng: (10a + 5)2 = 100a(a + 1) + 25
Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 5.
Áp dụng để tính: 252; 352; 652; 752
* Lời giải Bài 17 trang 11 SGK toán 8 tập 1:
- Ta có: (10a + 5)2 = (10a)2 + 2.10a.5 + 52 = 100a2 + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25
- Đặt A = a(a + 1). Khi đó ta có:
- Do vậy, để tính bình phương của một số tự nhiên có dạng
* Áp dụng:
252 = 625 (Vì 2.3 = 6)
352 = 1225 (Vì 3.4 = 12)
652 = 4225 (Vì 6.7 = 42)
752 = 5625 (Vì 7.8 = 56)
Bài 18 trang 11 SGK toán 8 tập 1: Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẵng thức bị mực làm nhòe đi một số chỗ:
a) x2 + 6xy + ... = ( ... + 3y)2
b) ... - 10xy + 25y2 = ( ... - ...)2
Hãy nêu một đề bài tương tự.
Xem thêm: Cách Giải Toán Chứng Minh Lớp 6 Cực Hay, Chi Tiết, Cách Giải Dạng Toán Chia Hết Nâng Cao Lớp 6
* Lời giải bài 18 trang 11 SGK toán 8 tập 1:
a) Dễ dàng nhận thấy đây là hằng đẳng thức (A+B)2 với:
A = x ; 2.AB = 6xy ⇒ B = 3y.
- Vậy ta có hằng đẳng thức: x2 + 2.x.3y + (3y)2 = (x + 3y)2 hay x2 + 6xy + 9y2 = (x + 3y)2