Vận dụng 7 hằng đẳng thức kỷ niệm để giải các dạng bài bác tập là giữa những nội dung kiến thức đặc trưng không chỉ trong lịch trình lớp 8 mà bọn chúng còn được sử dụng tiếp tục ở các lớp học tập sau này.
Bạn đang xem: Bài tập tổng hợp về hằng đẳng thức
Hiểu được điều đó, bài viết này sẽ khối hệ thống lại các dạng bài bác tập vận dụng 7 hằng đẳng thức kỷ niệm cùng các ví dụ ví dụ để những em hoàn toàn có thể nắm vững kiến thức về các hằng đẳng thức, tập luyện được kỹ năng biến đổi 7 hằng đẳng thức 1 cách linh hoạt trong những dạng toán.
I. Kiến thức và kỹ năng cần nhớ về 7 hằng đẳng thức
1. Bình phương của một tổng
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
* Ví dụ bài xích 16 trang 11 sgk toán 8 tập 1: Viết dưới dạng bình phương của 1 tổng hoặc 1 hiệu
a) x2 + 2x + 1 = (x)2 + 2.(x).(1) + (1)2 = (x+1)2
b) 9x2 + y2 + 6xy = 9x2 + 6xy + y2 = (3x)2 + 2.(3x).(y) + (y)2 = (3x+y)2
2. Bình phương của một hiệu
(A – B)2 = A2 – 2AB + B2
* Ví dụ bài 16 trang 11 sgk toán 8 tập 1: Viết dưới dạng bình phương của một tổng hoặc 1 hiệu
c) 25a2 + 4b2 - 20ab = 25a2 - 20ab + 4b2 = (5a)2 - 2.(5a).(2b) + (2b)2 = (5a+2b)2
d)
3. Hiệu hai bình phương
A2 – B2 = (A – B)(A + B)
* Ví dụ: Viết dưới dạng tích biểu thức: 4x2 - 9
* Lời giải:
- Ta có: 4x2 - 9 = (2x)2 - (3)2 = (2x-3)(2x+3)
4. Lập phương của một tổng
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
* Ví dụ bài xích 26 trang 14 sgk toán 8 tập 1: Tính
a) (2x2+3y)3 =(2x2)3 + 3(2x2)2.(3y) + 3(2x2).(3y)2 + (3y)3 = 8x6 + 36x4y + 54x2y2 + 27y3
5. Lập phương của một hiệu
(A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3
* Ví dụ bài xích 26 trang 14 sgk toán 8 tập 1: Tính
b) 
6. Tổng nhị lập phương
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
* Ví dụ: Viết bên dưới dạng tích x3 + 64
x3 + 64 = x3 + 43 = (x+4)(x2-4x+42) = (x+4)(x2-4x+16)
7. Hiệu hai lập phương
A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
* Ví dụ: Viết dưới dạng tích 8x3 - y3
8x3 - y3 = (2x)3 - y3 = (2x-y)<(2x)2 - (2x).y + y2> = (2x-y)(4x2 + 2xy + y2)
* Chú ý: a+b= -(-a-b) ;
(a+b)2= (-a-b)2 ;
(a-b)2= (b-a)2 ;
(a+b)3= -(-a-b)3 ;
(a-b)3=-(-a+b)3
II. Những dạng toán vận dụng 7 hằng đẳng thức
• Dạng 1 : Tính quý giá của biểu thức
Ví dụ: Tính quý giá của biểu thức : A = x2 – 4x + 4 tại x = -1
* Lời giải.
- Ta gồm : A = x2 – 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2
- tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2=(-3)2= 9
⇒ Kết luận: Vậy trên x = -1 thì A = 9
• Dạng 2 : chứng tỏ biểu thức A không phụ thuộc vào vào biến
Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào vào x: A = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)
* Lời giải.
- Ta có: A =(x – 1)2 + (x + 1)(3 – x) = x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x = 4 : hằng số không dựa vào vào vươn lên là x.
• Dạng 3 : Tìm giá chỉ trị nhỏ nhất của biểu thức
Ví dụ: Tính giá trị nhỏ dại nhất của biểu thức: A = x2 – 2x + 5
* Lời giải:
- Ta gồm : A = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4
- Vì (x – 1)2 ≥ 0 với đa số x.
⇒ (x – 1)2 + 4 ≥ 4 xuất xắc A ≥ 4
- Vậy giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất của A = 4, dấu "=" xẩy ra khi : x – 1 = 0 tuyệt x = 1
⇒ tóm lại GTNN của A là: Amin = 4 ⇔ x = 1
• Dạng 4 : Tìm giá bán trị lớn nhất của biểu thức
Ví dụ: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 4x – x2
* Lời giải:
- Ta gồm : A = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x2 = 4 – (4 – 4x + x2) = 4 – (x2 – 4x + 4) = 4 – (x – 2)2
- bởi (x – 2)2 ≥ 0 với mọi x ⇔ -(x – 2)2 ≤ 0 với hầu hết x
⇔ 4 – (x – 2)2 ≤ 4
⇔ A ≤ 4 Dấu "=" xảy ra khi : x – 2 = 0 tuyệt x = 2
⇒ kết luận GTLN của A là: Amax = 4 ⇔ x = 2.
• Dạng 5 : chứng tỏ đẳng thức bởi nhau
Ví dụ: chứng minh đẳng thức sau đúng: (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)
* Lời giải:
- Đối với dạng toán này chúng ta biến đổi VT = VP hoặc VT = A cùng VP = A
- Ta có: VT = (a + b)3 – (a – b)3
= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3
= 6a2b + 2b3
= 2b(3a2 + b2) = VP (đpcm).
⇒ Kết luận, vậy : (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)
• Dạng 6 : chứng minh bất đẳng thức
- biến đổi bất đẳng thức về dạng biểu thức A ≥ 0 hoặc A ≤ 0. Tiếp đến dùng các phép thay đổi đưa A về 1 trong những 7 hằng đẳng thức.
Ví dụ 1: minh chứng biểu thức A nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến, biết: A = x2 - x + 1
* Lời giải:
- Ta có:
- vì chưng
Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức B nhận giá trị âm với phần lớn giá trị của đổi mới x, biết: B = (2-x)(x-4)-2
* Lời giải:
- Ta có: B = (2-x)(x-4) - 1 = 2x - 8 - x2 + 4x - 2 = -x2 + 6x - 9 - 1 = -(x2 - 6x + 9) - 1 = -(x-3)2 - 1
- Vì (x-3)2 ≥ 0 ⇔ -(x-3)2 ≤ 0 ⇒ -(x-3)2 - 1 ≤ -1 • Dạng 7: Phân tích đa thức thành nhân tử
Ví dụ 1: Phân tích nhiều thức sau thành nhân tử: A = x2 – 4x + 4 – y2
* Lời giải:
- Ta gồm : A = x2 – 4x + 4 – y2 <để ý x2 – 4x + 4 bao gồm dạng hằng đẳng thức>
= (x2 – 4x + 4) – y2
= (x – 2)2 – y2
= (x – 2 – y )( x – 2 + y)
⇒ A = (x – 2 – y )( x – 2 + y)
Ví dụ 2: phân tính A thành nhân tử biết: A = x3 – 4x2 + 4x
= x(x2 – 4x + 4)
= x(x2 – 2.2x + 22)
= x(x – 2)2
Ví dụ 3: Phân tích B thành nhân tử biết: B = x 2 – 2xy – x + 2y
= (x 2– x) + (2y – 2xy)
= x(x – 1) – 2y(x – 1)
= (x – 1)(x – 2y)
Ví dụ 4: Phân tích C thành nhân tử biết: C = x2 – 5x + 6
= x2 – 2x – 3x + 6
= x(x – 2) – 3(x – 2)
= (x – 2)(x – 3)
• Dạng 8: Tìm quý hiếm của x
Ví dụ: Tìm quý hiếm củ x biết: x2( x – 3) – 4x + 12 = 0
* Lời giải.
x2 (x – 3) – 4x + 12 = 0
⇔ x2 (x – 3) – 4(x – 3) = 0
⇔ (x – 3) (x2 – 4) = 0
⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0
⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0
⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2
⇒ Kết luận, vậy nghiệm : x = 3; x = 2; x = –2
• Dạng 9 : thực hiện phép tính phân thức
Ví dụ: Tính quý hiếm của phân thức tại x = –1
* Lời giải:
- Ta bao gồm :
- lúc x = -1 :
⇒ Kết luận, vậy: I = 1/2 tại x = -1 .
III. Bài tập vận dụng 7 hằng đẳng thức xứng đáng nhớ
Bài 17 trang 11 SGK toán 8 tập 1: chứng tỏ rằng: (10a + 5)2 = 100a(a + 1) + 25
Từ kia em hãy nêu phương pháp tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên gồm tận cùng bằng chữ số 5.
Áp dụng nhằm tính: 252; 352; 652; 752
* Lời giải Bài 17 trang 11 SGK toán 8 tập 1:
- Ta có: (10a + 5)2 = (10a)2 + 2.10a.5 + 52 = 100a2 + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25
- Đặt A = a(a + 1). Khi đó ta có:
- vì vậy, nhằm tính bình phương của một số tự nhiên tất cả dạng
* Áp dụng:
252 = 625 (Vì 2.3 = 6)
352 = 1225 (Vì 3.4 = 12)
652 = 4225 (Vì 6.7 = 42)
752 = 5625 (Vì 7.8 = 56)
Bài 18 trang 11 SGK toán 8 tập 1: Hãy tìm kiếm cách giúp cho bạn An phục hồi lại hầu như hằng đẵng thức bị mực có tác dụng nhòe đi một số trong những chỗ:
a) x2 + 6xy + ... = ( ... + 3y)2
b) ... - 10xy + 25y2 = ( ... - ...)2
Hãy nêu một đề bài bác tương tự.
Xem thêm: Cách Giải Toán Chứng Minh Lớp 6 Cực Hay, Chi Tiết, Cách Giải Dạng Toán Chia Hết Nâng Cao Lớp 6
* giải thuật bài 18 trang 11 SGK toán 8 tập 1:
a) tiện lợi nhận thấy đấy là hằng đẳng thức (A+B)2 với:
A = x ; 2.AB = 6xy ⇒ B = 3y.
- Vậy ta tất cả hằng đẳng thức: x2 + 2.x.3y + (3y)2 = (x + 3y)2 hay x2 + 6xy + 9y2 = (x + 3y)2