Bài viết này đưa ra cho những em phần đa dạng bài tập tự cơ bản đến nâng cấp để các em luyện tập và củng cố những kiến thức về đặc thù ba đường trung đường của tam giác vẫn học.

Bạn đang xem: Các bài tập về đường trung tuyến trong tam giác


TÍNH CHẤT CỦA bố ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN (PHẦN 2)

II/ bài tập vận dụng

2. Bài xích tập trường đoản cú luận

Bài 1: Tam giác ABC tất cả trung tuyến đường (AM = 9cm) và giữa trung tâm G. Tính độ dài đoạn trực tiếp AG ?

Phương pháp giải:

Sử dụng đặc điểm trọng trọng điểm tam giác.

Lời giải:

Vì G là trọng tâm tam giác ABC cùng AM là con đường trung con đường nên:

(AG = frac23AM) (tính chất ba đường trung con đường của tam giác)

Do đó: (AG = frac23.9 = 6cm.)

Vậy (AG = 6cm.)

Bài 2: Biết rằng: trong một tam giác vuông, đường trung đường ứng với cạnh bằng một nửa cạnh huyền, hãy giải bài toán sau:

Cho tam giác vuông ABC bao gồm hai cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm. Tính biện pháp từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

+ Áp dụng đặc điểm ba mặt đường trung đường của tam giác

+ Áp dụng dìm xét: trong một tam giác vuông, con đường trung con đường ứng cùng với cạnh bởi một nửa cạnh huyền, hãy giải bài toán sau:

Lời giải:

*

Gọi M là trung điểm của BC

Suy ra: AM là trung đường ứng cùng với cạnh huyền bởi một nửa cạnh huyền nên (AM = frac12BC)

(eginarraylBC = sqrt AB^2 + AC^2 = sqrt 3^2 + 4^2 = 5cm\ Rightarrow AM = frac12.5 = 2,5cmendarray)

Vì G là giữa trung tâm của tam giác ABC bắt buộc (AG = frac23AM = frac23.2,5 = 1,7cm.)

Vậy (AG = 1,7cm.)

Bài 3: Cho tam giác DEF cân nặng tại D với mặt đường trung tuyến DI

a) chứng minh ∆DEI = ∆DFI

b) những góc DIE với góc DIF là hầu như góc gì?

c) Biết DE = DF = 13cm, EF = 10cm, hãy tính độ dài con đường trung tuyến đường DI.

Phương pháp giải:

Áp dụng đặc điểm của tam giác cân, tính chất đường trung tuyến và định lý Pytago.

Lời giải:

*

a) ∆DEI = ∆DFI có:

DI là cạnh chung

DE = DF ( ∆DEF cân)

IE = IF (DI là trung tuyến)


( Rightarrow ) ∆DEI = ∆DFI (c.c.c)

b) vì chưng (Delta DEI = Delta DFI Rightarrow angle DIE = angle DIF)

Mà (angle BID + angle DIF = 180^0) (kề bù)

Nên (angle DIE = angle DIF = 90^0)

c) I là trung điểm của EF cần IE = IF = 5cm

∆DEI vuông trên I ( Rightarrow DI^2 = DE^2 - EI^2) (định lí pytago)

(eginarrayl Rightarrow DI^2 = 13^2 - 5^2 = 144\ Rightarrow DI = sqrt 144 = 12cm.endarray)

Bài 4: Gọi G là trung tâm của tam giác ABC. Bên trên tia AG đem điểm G’ sao để cho G là trung điểm của AG’.

a) So sánh những cạnh của tam giác BGG’ với các đường trung tuyến đường của tam giác ABC

b) So sánh những đường trung tuyến của tam giác BGG’ với các cạnh của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất đường trung đường của tam giác.

Lời giải:

*

a) So sánh các cạnh của ∆BGG’ với các đường trung tuyến đường của ∆ABC BG cắt AC tại N

CG giảm AB trên E

G là giữa trung tâm của ∆ABC

( Rightarrow GA = frac23AM)

Mà GA = GG’ (G là trung điểm của AG’)

.( Rightarrow GG" = frac23AM).

Vì G là giữa trung tâm của ∆ABC ( Rightarrow GB = frac23BN)


Mặt khác: (GM = frac12AG) (G là trọng tâm)

(AG = GG" Rightarrow GM = frac12GG")

M là trung điểm của GG’

Do kia (Delta GMC = Delta G"MB) vì:

(eginarraylGM = MG"\MB = MC\angle GMC = angle G"MB\ Rightarrow BG" = CGendarray)

Mà (CG = frac23CE) (G là trọng tâm tam giác ABC)

( Rightarrow BG" = frac23CE)

Vậy từng cạnh của ∆BGG" bằng (frac23)

b) So sánh các đường trung tuyến của ∆BGG" với cạnh ∆ABC

Ta có: BM là con đường trung tuyến ∆BGG"

Mà M là trung điểm của BC yêu cầu (BM = frac12BC)

Vì (IG = frac12BG) (I là trung điểm BG)

(GN = frac12BG) (G là trọng tâm)

( Rightarrow IG = GN)

Do đó (Delta IGG" = Delta NGA,,left( c.g.c ight))

( Rightarrow IG" = AN Rightarrow IG" = frac12AC)

Gọi K là trung điểm BG ( Rightarrow ) GK là trung tuyến ∆BGG"

Vì (GE = frac12GC) (G là trọng tâm ∆ABC)

( Rightarrow GE = frac12BG)

Mà K là trung điểm BG" ( Rightarrow ) KG" = EG

Vì ∆GMC = ∆G"BM (chứng minh trên)

( Rightarrow angle GCM = angle G"BM) (lại góc sole trong)


( Rightarrow CE//BG" Rightarrow angle AGE = angle AG"B) (đồng vị)

Do đó (Delta AGE = Delta GG"K,,,left( c.g.c ight) Rightarrow AE = GK)

Mà (AE = frac12AB) cần (GK = frac12AB)

Vậy mỗi mặt đường trung tuyến ∆BGG" bằng một nửa cạnh của tam giác ABC tuy nhiên song cùng với nó.

Bài 5: Trong tam giác ABC, hai tuyến đường trung đường (AA_1) với (BB_1) cắt nhau tại điểm O. Hãy tính diện tích s tam giác ABC nếu diện tích s tam giác ABO bằng (5cm^2.)

Phương pháp giải:

Áp dụng đặc thù trọng trọng điểm và tía đường trung tuyến của tam giác.

Lời giải:

*

Ta có:

*

Bài 6: Chứng minh rằng các trung tuyến của một tam giác phân chia tam giác kia thành 6 tam giác mà diện tích của bọn chúng (đôi một) bởi nhau.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất trọng trọng điểm và cha đường trung tuyến của tam giác.

Lời giải:

*

Xét sáu tam giác được viết số là: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Chứng minh hoàn toàn tương trường đoản cú như bài 5 ta có:

(S_Delta GAB = S_Delta GBC = S_Delta GCA = frac13S_Delta ABC)

Ta lại có: (S_1 = S_2,,;,,S_3 = S_4,,;,,S_5 = S_6) (vì từng cặp tam giác tất cả chung con đường cao và hai đáy bằng nhau)


Vậy sáu tam giác 1, 2, 3, 4, 5, 6 có diện tích s bằng nhau.

Bài 7: Cho tam giác ABC với con đường trung tuyến đường AD. Trên tia AD đem điểm E sao cho AD = DE, trên tia BC mang điểm M sao để cho BC = CM.

a) Tìm trung tâm của tam giác AEM.

b) So sánh các cạnh của tam giác ABC với các đường trung đường của tam giác AEM

c) So sánh những đường trung đường của tam giác ABC với những cạnh của tam giác AEM.

Phương pháp giải:

Áp dụng đặc điểm ba con đường trung đường của tam giác.

Lời giải:

*

a) vị AD = DE buộc phải MD là một trong những đường trung tuyến của tam giác AEM.

Hơn nữa bởi vì (CD = frac12CB = frac12CM)

Nên C là trung tâm của tam giác AEM.

b) những đường trực tiếp AC, EC lần lượt giảm EM, AM tại F, I.

Tam giác AEM có những đường trung đường là AF, EI, MD.

Xem thêm: Bài Tập Về Tỉ Số Lượng Giác Của Góc Nhọn Toán Lớp 9, Các Dạng Bài Tập Về Tỉ Số Lượng Giác Của Góc Nhọn

Ta có ∆ADB = ∆EDG (c.g.c) nên AB = EC

Vậy (AC = frac23AF,,;,,BC = centimet = frac23MD,,;,,AB = EC = frac23EI.)

c) Trước tiên, theo trả thiết, ta tất cả AD = DE buộc phải (AD = frac12AE)

Gọi BP, CQ là những trung con đường của ∆ABC.

(Delta BCP = Delta MCF Rightarrow BP = FM = frac12EM.)


Ta sẽ chứng minh: (CQ = frac12AM)

Ta có:

(eginarraylDelta ABD = Delta ECD Rightarrow angle BAD = angle CED\ Rightarrow AB//EC Rightarrow angle QAC = angle ICAendarray)

Hai tam giác ACQ và CAI gồm cạnh AC chung, (angle QAC = angle ICA,,,AQ = frac12AB = frac12EC = IC)

Nên chúng bởi nhau

Suy ra CQ = AI, cho nên vì thế (CQ = frac12AM.)

Vậy (AD = frac12AE,,;,,BP = frac12EM,,;,,CQ = frac12AM.)

Tải về