7 hằng đẳng thức đáng đừng quên một trong những kiến thức nói cách khác quan trọng duy nhất trong trương trình toán lớp 7 và những cấp về sau. Trong bài ngày hôm nay, bọn họ sẽ cùng đi kiếm hiểu về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và những dạng thay đổi tương đương của chúng. Ngoài ra sẽ rèn luyện áp dụng những hằng đẳng thức vào làm rất nhiều dạng bài tập cơ bản.

Bạn đang xem: Các dạng bài tập vận dụng hằng đẳng thức

1. 7 hằng đẳng thức xứng đáng nhớ

Cho nhì biểu thức A với B. Từ nhị biểu thức này, ta có thể lập ra 7 hằng đẳng thức như sau:

(A + B)² = A² + 2AB + B² (A – B)² = A²  – 2AB + B²

⇒ A² +B² = (A-B)² – 2AB = (A+B)² – 2AB

(A + B)(A – B) = A² – B²(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³(A – B)³ = A³ – 3A²B + 3A² – B³(A + B)( A² – AB + B²) = A³ +B³(A – B)( A² + AB + B²) = A³ –B³

2. Bài bác tập vận dụng:

Bài tập 1: sử dụng 7 hằng đẳng thức Viết những biểu thức sau bên dưới dạng tổng

(2x + 1)²(2x + 3y)²(x + 1)(x – 1)m² – n²(5x + 3yz)²(yx – 3ab)²(x² + 3)(xˆ4 + 9 – 3x²)(9x + 3)²(xy + 2yz)²

Lời giải

(2x+1)² = 4x²+ 4x +1(2x+3y)² = 4x² + 2.2x.3y + 9y² = 4x² + 12x.y + 9y²(x+1)(x-1) = x²-1m² – n² = (m – n)(m + n)(5x+3yz)² = 25x² + 2.5x.3yz + 9y²z² = 25x² + 30xyz + 9y²z²(yx – 3ab)² = y²z² – 2.yx.3ab + 9a²b²(x²+3)(xˆ4 + 9 – 3x²) = (x²)² + 3³ = x>xˆ4+27(9x+3)² = 81x² + 54x + 9(xy+2yz)² =x²y² + 2.xy.2yz + 4y²z² = x²y² +4xy² z + 4y² z²

Bài tập 2: áp dụng 7 hằng đẳng thức xứng đáng nhớ và rút gọn gàng biểu thức sau:

A=(x+y)² – (x-y)²

*Cách 1: khai triển từng hằng số trong biểu thức B bằng hằng đẳng thức

(A ± B)² = A² ± 2AB+B²

A = (x+y)² – (x-y)² = x² + 2xy + y² – (x² – 2xy + y²) = 4xy

*Cách 2: thực hiện hằng đẳng thức A²–B = (A + B)(A – B)

A=(x+y)² – (x-y)² = (x+y+x-y)(x+y-x+y) = 2x.2y = 4xy

B = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)²

*Cách 1: khai triển từng hằng số trong biểu thức B bằng hằng đẳng thức

(A ± B)² = A² ± 2AB+B²

B = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)² = x² + 2xy + y² – 2x² + 2y² + x² – 2xy + y² = 4y²

*Cách 2: 

B = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)² = (x + y – x + y)² = (2y)² = 4y²

Bài tập 3: Tính nhanh các biểu thức sau

 153² + 94.153 + 47² 126² – 126.152 + 5776

Lời giải:

153² + 94.153 + 47² = 153² + 2.47.153 + 47² = (153+47)² = 200² = 40000126² – 126.152 + 5776 = 126² – 2.126.76 + 76² = (126-76)² = 50²

3. Những dạng chuyển đổi cần lưu ý

Chú ý phép tính toán, nhân đối chọi thức với nhiều thức, nhân nhiều thức với nhiều thức, xúc tiến hằng đẳng thức. Những bài toán yêu ước viết lại biểu thức. (Cần để ý các luật lệ về nhân đơn đa thức và học trực thuộc 7 hằng đẳng thức xứng đáng nhớ. Chăm chú về vệt của số hạng và dấu của các phép toán.Có thể vận dụng các đặc điểm về 7 hằng đẳng thức lưu niệm để kiếm tìm raBài tập về tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức. Họ thực hiện nay bước đầu tiên là đổi khác biểu thức yêu cầu về dạng M = A² + B trong những số ấy A là một biểu thức chứa biến và B là một trong những hoặc một biểu thức số độc lập. Theo đặc điểm về bình phương của phần nhiều số thực luôn không âm nên luôn luôn gồm A² ≥ 0 với tất cả giá trị của phát triển thành số, cho nên A² + B ≥ B đề nghị biểu thức có mức giá trị nhỏ tuổi nhất bởi B. Vệt = xảy ra khi A = 0.Bài tập về tìm giá chỉ trị lớn số 1 của một biểu thức. đổi khác biểu thức yêu ước về dạng M = -A² + B trong các số ấy A là 1 trong biểu thức chứa vươn lên là và B là một vài hoặc một biểu thức số độc lập. Theo đặc thù về bình phương của hồ hết số thực luôn không âm nên luôn luôn có A² ≥ 0 với tất cả giá trị của phát triển thành số, do đó -A² + B ≤ B đề nghị biểu thức có giá trị lớn số 1 bằng B. Vệt = xảy ra khi A=0.

Chú ý: dựa vào 7 hằng đẳng thức lưu niệm trên ta còn tồn tại thể biến hóa và suy ra những đẳng thức tương tự như sau:

*

Từ hằng đẳng thức 1); 2); 3) ta rất có thể mở rộng thêm những đẳng thức sau:

*

*

*

*

*

Câu 1: Tính:

a, (x + 2y)2

b, (x – 3y)(x + 3y)

c, (5 – x)2

Lời giải:

a, (x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2

b, (x – 3y)(x + 3y) = x2 – (3y)2 = x2 – 9y2

c, (5 – x)2 = 52 – 10x + x2 = 25 – 10x + x2

Câu 2: Tính:

a, (x – 1)2

b, (3 – y)2

c, (x – 1/2)2

Lời giải:

a, (x – 1)2 = x2 –2x + 1

b, (3 – y)2 = 9 – 6y + y2

c, (x – 1/2)2 = x2 – x + 1/4

Câu 3: Viết những biểu thức sau bên dưới dạng bình phương một tổng:

a, x2 + 6x + 9

b, x2 + x + 1/4

c,2xy2 + x2y4 + 1

Lời giải:

a, x2 + 6x + 9 = x2 + 2.x.3 + 32 = (x + 3)2

b, x2 + x + 1/4 = x2 + 2.x.1/2 + (1/2 )2 = (x + 1/2)2

c, 2xy2 + x2y4 + 1 = (xy2)2 + 2.xy2.1 + 12 = (xy2 + 1)2

Câu 4: Rút gọn gàng biểu thức:

a, (x + y)2 + (x – y)2

b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

Lời giải:

a, (x + y)2 + (x – y)2

= x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2

= 2x2 + 2y2

b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

= <(x + y) + (x – y)>2 = (2x)2 = 4x2

c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

= (x – y + z)2 + 2(x – y + z)(y – z) + (y – z)2

= <(x – y + z) + (y – z)>2 = x2

Câu 5: Biết số tự nhiên a phân tách cho 5 dư 4. Chứng minh rằng a2 phân chia cho 5 dư 1.

Xem thêm: Các Dạng Bài Tập Về Căn Bậc Hai Lớp 9 Chọn Lọc, Bài Tập Căn Bậc 2 Lớp 9 Chọn Lọc

Lời giải:

Số tự nhiên a chia cho 5 dư 4, ta có: a = 5k + 4 (k ∈N)

Ta có: a2 = (5k + 4)2

= 25k2 + 40k + 16

= 25k2 + 40k + 15 + 1

= 5(5k2 + 8k +3) +1

Ta có: 5(5k2 + 8k + 3) ⋮ 5

Vậy a2 = (5k + 4)2 chia cho 5 dư 1.

Câu 6: Tính cực hiếm của biểu thức sau:

a, x2 – y2 tại x = 87 cùng y = 13

b, x3 – 3x2 + 3x – 1 trên x = 101

c, x3 + 9x2+ 27x + 27 trên x = 97

Lời giải:

a, Ta có: x2 – y2 = (x + y)(x – y)

b, chũm x = 87, y = 13, ta được:

x2 – y2 = (x + y)(x – y)

= (87 + 13)(87 – 13)

= 100.74 = 7400

c, Ta có: x3 + 9x2 + 27x + 27

= x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33

= (x + 3)3

Thay x = 97, ta được: (x + 3)3 = (97 + 3)3 = 1003 = 1000000

Câu 7: Chứng minh rằng:

a, (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = 2a3

b, (a + b)<(a – b)2 + ab> = (a + b) = a3 + b3

c, (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad – bc)2

Lời giải:

a, Ta có: (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + b3 + a3 – b3 = 2a3