Dạng toán hệ phương trình đối xứng là một dạng bài bác tập xuất hiện thêm trong đề thi Toán tuyển chọn sinh vào 10 các trường chuyên. Hệ PT đối xứng chia nhỏ ra làm 2 dạng là một số loại 1 và các loại 2.
Bạn đang xem: Cách giải hệ phương trình đối xứng
Dưới đấy là lý thuyết và bài xích tập về chăm đề này.
I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I
Phần 1- Định nghĩa chung: Dựa vào định hướng đa thức đối xứng.
– Phương trình $ displaystyle n$ ẩn $ displaystyle x_1,x_2, ext …,x_n$ gọi là đối xứng với $ displaystyle n$ ẩn nếu nỗ lực $ displaystyle x_i$ bởi $ displaystyle x_j;~x_j$ bởi $ displaystyle x_i$ thì phương trình không nạm đổi.
– khi đó phương trình luôn được biểu diễn dưới dạng:
$ displaystyle x_1+x_2+ ext … ext +x_n$
$ displaystyle x_1x_2+x_1x_3+ ext … ext +x_1x_n+x_2x_1+x_2x_3+ ext … ext +x_n-1x_n$
………………………….
$ displaystyle x_1x_2…x_n$
– Hệ phương trình đối xứng một số loại một là hệ mà trong số đó gồm những phương trình đối xứng.
– Để giải được hệ phương trình đối xứng nhiều loại 1 ta cần dùng định lý Viét.
* Nếu đa thức $ displaystyle Fleft( x ight) ext =a_0x^n~+a_1x^n^-1+…a_n,a_0 e ext 0,a_iin P$ có nghiệm bên trên $ displaystyle P$ là $ displaystyle c_1, ext …,c_n$ thì:
$ displaystyle left{ eginarraylc_1+c_2+… ext +c_n=-fraca_1a_0\c_1c_2+c_1c_3+ ext … ext +c_1c_n+c_2c_1+c_2c_3+… ext +c_n-1c_n=fraca_2a_0\………………………….\c_1c_1 ext … ext c_n=(-1)^n.fraca_na_0endarray ight.$
(Định lý Viét tổng quát)
Phần 2 – Hệ phương trình đối xứng nhiều loại 1 hai ẩn:
1. Định lý Viét cho phương trình bậc 2:
Nếu phương trình bậc nhị ax2 + bx + c = 0 bao gồm hai nghiệm x1, x2 thì:
$ displaystyle left{ eginarraylS=x_1+x_2 ext =-fracba\P=x_1.x_2=fraccaendarray ight.$
Ngược lại, giả dụ 2 số x1, x2 có $ displaystyle left{ eginarrayl ext x_1+x_2=S\ ext x_1.x_2=Pendarray ight.$ thì $ displaystyle x_1,x_2$ là nghiệm của phương trình $ displaystyle X^2-SX ext +P= ext 0.$
2. Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng nhiều loại 1 nhị ẩn có dạng
$ displaystyle left{ eginarraylf(x,y)=0\g(x,y)=0endarray ight.$, trong các số ấy $ left{ eginarraylf(x,y)=f(y,x)\g(x,y)=g(y,x)endarray ight.$.
3. Bí quyết giải:
Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với đk của S, P và $ S^2ge 4P$.
Bước 3: ráng $ displaystyle x,y$ bởi $ displaystyle S,P$ vào hệ phương trình. Giải hệ tìm kiếm $ displaystyle S,P$ rồi dùng Viét hòn đảo tìm $ displaystyle x,y$.
Chú ý:
+ phải nhớ: $ displaystyle x^2+y^2=S^2 ext 2P,x^3+y^3=S^3 ext 3SP.$
+ Đôi khi ta phải để ẩn phụ $ displaystyle u=uleft( x ight),v=vleft( x ight)$ và $ displaystyle S=u+v, ext P ext =uv.$
+ gồm có hệ phương trình thay đổi đối xứng một số loại 1 sau khoản thời gian đặt ẩn phụ.
4. Bài bác tập:
Loại 1: Giải hệ phương trình
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình $ left{ eginarraylx^2y+xy^2=30\x^3+y^3=35endarray ight.$.
GIẢI
Đặt $ extS=x+y, ext P=xy$, điều kiện $ S^2ge 4P$. Hệ phương trình trở thành:
$ left{ eginarraylSP=30\S(S^2-3P)=35endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylP=frac30S\Sleft( S^2-frac90S ight)=35endarray ight.$
$ Leftrightarrow left{ eginarraylS=5\P=6endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylx+y=5\xy=6endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylx=2\y=3endarray ight.vee left{ eginarraylx=3\y=2endarray ight.$
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình $ left{ eginarraylxy(x-y)=-2\x^3-y^3=2endarray ight.$.
GIẢI
Đặt $ t=-y, ext S=x+t, ext P=xt$, điều kiện $ S^2ge 4P$. Hệ phương trình trở thành:
$ left{ eginarraylxt(x+t)=2\x^3+t^3=2endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylSP=2\S^3-3SP=2endarray ight.$
$ Leftrightarrow left{ eginarraylS=2\P=1endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylx=1\t=1endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylx=1\y=-1endarray ight.$
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình $ left{ eginarraylx+y+frac1x+frac1y=4\x^2+y^2+frac1x^2+frac1y^2=4endarray ight.$.
GIẢI
Điều kiện $ x e 0,y e 0$.
Hệ phương trình tương đương với: $ left{ eginarraylleft( x+frac1x ight)+left( y+frac1y ight)=4\left( x+frac1x ight)^2+left( y+frac1y ight)^2=8endarray ight.$
Đặt $ S=left( x+frac1x ight)+left( y+frac1y ight),P=left( x+frac1x ight)left( y+frac1y ight),S^2ge 4P$ ta có:
$ left{ eginarraylS=4\S^2-2P=8endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylS=4\P=4endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylleft( x+frac1x ight)+left( y+frac1y ight)=4\left( x+frac1x ight)left( y+frac1y ight)=4endarray ight.$
$ Leftrightarrow left{ eginarraylx+frac1x=2\y+frac1y=2endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylx=1\y=1endarray ight.$
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình $ left{ eginarraylsqrtx^2+y^2+sqrt2xy=8sqrt2,, ext (1)\sqrtx+sqrty=4 ext ,,,, ext , ext , ext (2)endarray ight.$.
GIẢI
Điều kiện $ x,yge 0$. Đặt $ t=sqrtxyge 0$, ta có:
$ xy=t^2$ và $ (2)Rightarrow x+y=16-2t$.
Thế vào (1), ta được: $ sqrtt^2-32t+128=8-tLeftrightarrow t=4$
Suy ra: $ left{ eginarraylxy=16\x+y=8endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylx=4\y=4endarray ight.$
Loại 2: Điều kiện tham số nhằm hệ đối xứng các loại (kiểu) 1 tất cả nghiệm
Phương pháp giải chung:
+ bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
+ bước 2: Đặt $ displaystyle S=x+y,P=xy$ với điều kiện của $ displaystyle S,P$ với (*)
+ bước 3: cụ $ displaystyle x,y$ bởi $ displaystyle S,P$ vào hệ phương trình.
Giải hệ search $ displaystyle S,P$ theo $ displaystyle m$ rồi từ đk (*) kiếm tìm $ displaystyle m$.
Chú ý:
Khi ta để ẩn phụ $ displaystyle u=uleft( x ight),v=vleft( x ight)$ và $ displaystyle S=u+v,P=uv$ thì nhớ tìm chính xác điều khiếu nại của $ displaystyle u,v$.
Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:
$ left{ eginarraylsqrtx+sqrty=1\xsqrtx+ysqrty=1-3mendarray ight.$
GIẢI
Điều kiện $ x,yge 0$ ta có:
$ left{ eginarraylsqrtx+sqrty=1\xsqrtx+ysqrty=1-3mendarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylsqrtx+sqrty=1\(sqrtx)^3+(sqrty)^3=1-3mendarray ight.$
Đặt $ S=sqrtx+sqrtyge 0,P=sqrtxyge 0$, $ S^2ge 4P.$ Hệ phương trình trở thành:
$ left{ eginarraylS=1\S^3-3SP=1-3mendarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylS=1\P=mendarray ight.$.
Từ điều kiện $ Sge 0,Pge 0,S^2ge 4P$ ta tất cả $ 0le mle frac14$.
Ví dụ 2. Tìm đk $ displaystyle m$ để hệ phương trình $ left{ eginarraylx+y+xy=m\x^2y+xy^2=3m-9endarray ight.$ có nghiệm thực.
GIẢI
$ left{ eginarraylx+y+xy=m\x^2y+xy^2=3m-9endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarrayl(x+y)+xy=m\xy(x+y)=3m-9endarray ight.$.
Đặt $ displaystyle S ext = ext x ext + ext y, ext P ext = ext xy,$ Hệ phương trình trở thành: $ left{ eginarraylS+P=m\SP=3m-9endarray ight.$.
Suy ra $ displaystyle S$ và $ displaystyle P$ là nghiệm của phương trình $ t^2-mt+3m-9=0$.
$ Rightarrow left{ eginarraylS=3\P=m-3endarray ight.vee left{ eginarraylS=m-3\P=3endarray ight.$
Từ đk ta suy ra hệ tất cả nghiệm $ Leftrightarrow left< eginarrayl3^2ge 4(m-3)\(m-3)^2ge 12endarray ight.Leftrightarrow mle frac214vee mge 3+2sqrt3$.
Loại 3: một trong những bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình.
Ví dụ 1. Giải phương trình: $ displaystyle sqrt<3>x+sqrt<3>1-x ext =frac32$.
GIẢI
Đặt: $ displaystyle left{ eginarraylsqrt<3>x=u\sqrt<3>1-x=vendarray ight.$ . Vậy ta gồm hệ: $ displaystyle left{ eginarraylu+v=frac32\u^3+v^3=1endarray ight.$
⇔ $ displaystyle left{ eginarraylu+v=frac32\(u+v)left< (u+v)^2-3uv ight>=1endarray ight.$
⇔ $ displaystyle left{ eginarraylu+v ext =frac32\u.v ext =frac1936endarray ight.$
u, v là nhì nghiệm của phương trình: $ displaystyle X^2-frac32X ext +frac1936 ext = ext 0$
⇒ $ displaystyle left< eginarraylu ext =frac9+sqrt512\u ext =frac9 ext - ext sqrt512endarray ight.$ ⇒ $ displaystyle left< eginarraylx ext = ext left( frac9 ext + ext sqrt512 ight)^3\x ext = ext left( frac9 ext - ext sqrt512 ight)^3endarray ight.$
Vậy phương trình gồm hai nghiệm: $ displaystyle left x ight$ = $ displaystyle left left( frac9+sqrt512 ight)^3; ext left( frac9-sqrt512 ight)^3 ight$.
II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2 hai ẨN
A. Định nghĩa:
$ displaystyle left{ eginarraylf(x,y)=0,,,left( 1 ight)\f(y,x)=0,,,left( 2 ight)endarray ight.$
Cách giải: mang (1) – (2) hoặc (2) – (1) ta được: $ displaystyle (x-y)gleft( x,y ight)=0$.
Khi đó $ displaystyle x-y=0$ hoặc $ displaystyle gleft( x,y ight)=0.$
+ Trường thích hợp 1: $ displaystyle x-y=0$ kết phù hợp với phương trình hoặc suy ra được nghiệm.
+ Trường vừa lòng 2: $ displaystyle gleft( x,y ight)=0$ kết phù hợp với phương trình suy ra nghiệm (trong trường phù hợp này hệ phương trình new trở về hệ đối xứng nhiều loại 1) và thông thường vô nghiệm.
B. Những ví dụ:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình $ displaystyle left{ eginarraylx^3=3x+8y,,,left( 1 ight)\y^3=3y+8x,,,left( 2 ight)endarray ight.$ (I)
GIẢI
Lấy (1) – (2) ta được: $ displaystyle ext(x – y)( extx^ ext2 ext + xy + exty^ ext2 ext + 5) = 0$
Trường vừa lòng 1: (I) $ displaystyle Leftrightarrow left{ eginarraylx^3 ext = ext 3x ext + ext 8y\x ext = ext yendarray ight.$
⇔ $ displaystyle left{ eginarraylx^3 ext - ext 11x ext = ext 0\x ext = ext yendarray
ight.Leftrightarrow left{ eginarraylleft< eginarraylx ext = ext 0\x ext = ext pm sqrt11endarray
ight.\x ext = ext yendarray
ight.$.
Xem thêm: Cách Tìm Tọa Độ Giao Điểm - Tìm Tọa Độ Giao Điểm A Của (D1) Y=
Trường phù hợp 2: (I) $ displaystyle Leftrightarrow left{ eginarraylx^2+xy+y^2+5=0\x^3+y^3=11left( x+y ight)endarray ight.$ (hệ này vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình vẫn cho gồm tập nghiệm:
$ displaystyle left ext(x ext, y) ight\text=left ext(0 ext,0); (sqrt ext11 ext,sqrt ext11 ext); (-sqrt ext11 ext,-sqrt ext11 ext) ight$
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình $ displaystyle left{ eginarraylx+sqrt<4>y-1=1\y+sqrt<4>x-1=1endarray ight.$
GIẢI
Đặt: $ displaystyle sqrt< ext4> extx – 1 ext = u ge ext0; sqrt< ext4> exty – 1 ext = vge ext0$
Hệ phương trình trở thành:
$ displaystyle left{ eginarraylu^4 ext + ext 1 ext + ext v ext = ext 1\v^4 ext + ext 1 ext + ext u ext = ext 1endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylu^4 ext + ext v ext = ext 0\v^4 ext + ext u ext = ext 0endarray ight.$
⇔ $ displaystyle left{ eginarraylu ext = ext 0\v ext = ext 0endarray ight.$
(Do u, v ≥ 0) $ displaystyle Rightarrow left{ eginarrayl extx = 1\ exty = 1endarray ight.$.