Hệ phương trình đối xứng là 1 dạng toán thường gặp trong chương trình thi tuyển chọn sinh lớp 10 cũng như thi xuất sắc nghiệp trung học phổ thông Quốc gia. Vậy hệ phương trình đối xứng là gì? các dạng hệ phương trình đối xứng và cách thức giải? biện pháp nhận biết tương tự như lý thuyết và bài tập hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2?… vào nội dung bài viết dưới đây, aspvn.net sẽ giúp đỡ bạn tổng hợp kiến thức và kỹ năng về chủ thể này nhé!
Mục lục
2 phương pháp phân một số loại hệ phương trình đối xứng3 Cách nhận thấy hệ phương trình đối xứng 4 Các cách thức giải hệ phương trình đối xứng nhiều loại 1 6 Các phương thức giải hệ phương trình đối xứng loại 28 Phương trình có thông số đối xứng là gì?Hệ phương trình đối xứng là gì?
Hệ phương trình đối xứng là hệ phương trình cơ mà khi ta biến hóa vai trò của ( x,y ) cho nhau thì hệ phương trình không cố đổi. Trong đó bọn họ chia làm cho hai một số loại hệ phương trình đối xứng cơ phiên bản là nhiều loại 1 và một số loại 2.
Bạn đang xem: Giải hệ phương trình đối xứng loại 1
Cách phân các loại hệ phương trình đối xứng
Định nghĩa hệ phương trình đối xứng loại 1 là gì?
Là hệ phương trình nhưng mà khi ta chuyển đổi vai trò ( x;y ) thì từng phương trình không biến đổi hay nói phương pháp khác, hệ phương trình đối xứng một số loại 1 (HPTDXL1) là hệ phương trình nhưng hai ẩn ( x;y ) đối xứng trong mỗi phương trình
(left{eginmatrix f(x;y)=0\g(x;y)=0 endmatrix ight.) trong đó: (left{eginmatrix f(x;y)=f(y;x)\g(x;y)=g(y;x) endmatrix ight.)
Hệ phương trình đối xứng nhiều loại 1 hai ẩn
Định nghĩa hệ phương trình đối xứng loại 2 là gì?
Là hệ phương trình cơ mà khi ta biến hóa vai trò ( x;y ) thì phương trình này trở thành phương trình tê và trái lại hay nói cách khác, hệ phương trình đối xứng một số loại 2 (HPTDXL2) là hệ phương trình bao gồm 2 phương trình đối xứng nhau
(left{eginmatrix f(x;y)=0\f(y;x)=0 endmatrix ight.)
Hệ phương trình đối xứng một số loại 2 hai ẩn
Cách phân biệt hệ phương trình đối xứng
Cách nhận thấy hệ phương trình đối xứng loại 1
Để nhận thấy hệ phương trình đối xứng các loại 1 thì bọn họ xét từng phương trình, thử thay đổi (x ightarrow y ; y ightarrow x) xem phương trình mới thu được có y hệt như phương trình ban đầu hay không.
Ví dụ:
Hệ (left{eginmatrix x^2+2x+2y+y^2-1=0 \ x^3+y^3+xy=1 endmatrix ight.) là hệ phương trình đối xứng loại 1.
Hệ (left{eginmatrix x^3-y^3+xy=1\ x^2+2xy+x+y+y^2=3 endmatrix ight.) không phải là hệ phương trình đối xứng loại 1.
Cách nhận ra hệ phương trình đối xứng loại 2
Để phân biệt hệ phương trình đối xứng các loại 1 thì chúng ta xét phương trình sản phẩm nhất, thử thay đổi (x ightarrow y ; y ightarrow x) coi phương trình new thu được có hệt như phương trình thiết bị hai giỏi không? Làm tương tự như với phương trình sản phẩm công nghệ hai.
Ví dụ:
Hệ (left{eginmatrix x^3-x^2y=x\ y^3-xy^2=y endmatrix ight.) là hệ phương trình đối xứng loại 2
Hệ (left{eginmatrix x^2-xy=y\ y^2+xy=x endmatrix ight.) ko là hệ phương trình đối xứng
Các phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1
Phương pháp để ẩn tổng tích
Đây là phương pháp chung nhằm giải những hệ phương trình đối xứng nhiều loại 1.
Bước 1: Đặt ( S=x+y ; P=x.y ) . Biến đổi từng phương trình về phương trình mới theo ( 2 ) ẩn ( S;P )Bước 2: Giải hệ phương trình tìm thấy ( S;P ) thỏa mãn nhu cầu ( S^2 geq 4P )Để đổi khác được hệ phương trình về dạng ( S;P ) thì ta buộc phải nhớ một vài đẳng thức quan trọng:
( x^2+y^2 = (x+y)^2 -2xy =S^2-2P )
(|x-y| =sqrt(x+y)^2-4xy=sqrtS^2-4P)
(x^3+y^3=(x+y)(x^2+y^2-xy)=S(S^2-3P))
***Chú ý: nếu như ( (x;y)=(a;b) ) là nghiệm của hệ phương trình thì ( (x;y) =(b;a) ) cũng là nghiệm của hệ phương trình.
Ví dụ:
Giải hệ phương trình:
(left{eginmatrix x+xy+y=2\ x^2+xy+y^2=4 endmatrix ight.)
Cách giải:
Đặt ( S=x+y ; P=xy ). ĐK : ( S^2 geq 4P )
Thay vào hệ phương trình ta được:
(left{eginmatrix S+P=2\ S^2-P=4 endmatrix ight.)
Thay ( -P=S-2 ) vào phương trình bên dưới ta được :
( S^2+S-6=0 Leftrightarrow (S-2)(S+3)=0 )
(Leftrightarrow left<eginarrayl S=2 ; phường =0\S=-3 ; P=5endarray ight.)
Kiểm tra đk ( S^2 geq 4P ), vậy (left{eginmatrix S=2\ P=0 endmatrix ight.)
Vậy ( x;y ) là nghiệm của phương trình ( t^2-2t =0 )
(Leftrightarrow left<eginarraylt=0 \t=2 endarray ight.)
Vậy hệ phương trình sẽ cho tất cả hai cặp nghiệm ( (x;y) = ( 0;2) ; (2;0) )
Phương pháp đặt ẩn phụ
Đây là phương thức để giải những bài toán hệ phương trình đối xứng nhiều loại 1 khó. Phần đông hệ này nếu nhìn qua thì ta sẽ thấy nó chưa hẳn là đối xứng. Nhưng lại khi chúng ta đặt ẩn phụ một cách thích hợp, bài toán sẽ phát triển thành hệ phương trình đối xứng các loại 1. Tự đó bạn cũng có thể giải một cách dễ dàng.
Ví dụ:
Giải hệ phương trình : (left{eginmatrix x(x+2)(2x+y)-9=0\ x^2+4x+y=6 endmatrix ight.)
Cách giải:
Đặt ( x^2+2x= a ; 2x+y=b ). Cầm vào hệ đã cho ta được :
(left{eginmatrix ab=9 \a+b =6 endmatrix ight.)
Vậy ( a;b ) là nghiệm của phương trình :
( t^2-6t+9= 0 Leftrightarrow (t-3)^2=0 Leftrightarrow t=3 )
Vậy ( a=b=3 )
Thay vào ta được:
(left{eginmatrix x^2+2x=3\2x+y=3 endmatrix ight. Leftrightarrow left{eginmatrix (x+3)(x-1)=0\ 2x+y=3 endmatrix ight.)
(Leftrightarrow left<eginarraylleft{eginmatrix x=-3\y=9 endmatrix ight.\ left{eginmatrix x=1\y=1 endmatrix ight. endarray ight.)
Vậy phương trình đang cho tất cả ( 2 ) cặp nghiệm :
( (x;y) =(-3;9) ; (1;1) )
Giải hệ phương trình đối xứng các loại 1 đựng căn
Với số đông hệ phương trình này, cách giải vẫn bao hàm các bước như trên nhưng chúng ta cần thêm bước tìm ĐKXĐ của hệ phương trình.
Ví dụ:
Giải hệ phương trình:
(left{eginmatrix x+y-sqrtxy=3\ sqrtx+1 + sqrty+1=4 endmatrix ight.)
Cách giải:
ĐKXĐ:
(left{eginmatrix x geq -1\y geq -1 \ xy geq 0 endmatrix ight. hspace1cm (*))
Đặt (S=x+y hspace5mm; P=xy) với (left{eginmatrix S^2 geq 4P\ Pgeq 0 \ S geq -2 endmatrix ight. hspace1cm (**))
Bình phương 2 vế PT (2) hệ phương trình đang cho tương đương với :
(left{eginmatrix x+y-sqrtxy=3\ x+y+2+sqrtx+y+xy+1=16 endmatrix ight.)
(Leftrightarrow left{eginmatrix S- sqrtP =3 \S+2+2sqrtS+P+1=16 endmatrix ight.)
(Leftrightarrow left{eginmatrix P= S^2 -6S +9\ S -14 =-2sqrtS+P+1 endmatrix ight.) cùng với (3leq Sleq 14)
Thay ( P= S^2 -6S +9 ) từ bỏ PT (1) vào PT (2) ta gồm :
(S-14 = -2sqrtS^2-5S+10)
(Leftrightarrow S^2-28S+196 = 4(S^2-5S+10))
(Leftrightarrow 3S^2+8S-156=0 Leftrightarrow (S-6)(3S+26)=0)
(Leftrightarrow left{eginmatrix S=6\S=-frac263 endmatrix ight.)
Kết vừa lòng ĐKXĐ ta được (S=6 Rightarrow P=9)
Vậy (x;y) là nghiệm của phương trình :
(t^2-6t+9 =0 Leftrightarrow t=3)
Vậy (x=y=3) ( vừa lòng điều kiện).
Bài tập hệ phương trình đối xứng các loại 1
Sau đấy là một số bài bác tập để chúng ta luyện tập phần hệ phương trình đối xứng nhiều loại 1.
Bài 1: Giải hệ phương trình:
(left{eginmatrix x^2+xy+y^2=7\x^2+y^2+x+y=8 endmatrix ight.)
Đáp số : ( (x;y) = (1;2) ;(2;1) ; (1;-3) ; (-3;1) )
Bài 2: Giải hệ phương trình:
(left{eginmatrix x+y+frac1x+frac1y=5\x^2+y^2+frac1x^2+frac1y^2=9 endmatrix ight.)
Đáp số : ( (x;y) =
Bài 3: tra cứu ( m ) để hệ bao gồm đúng ( 2 ) nghiệm :
(left{eginmatrix (x+y)^2=4\ x^2+y^2=2m+2 endmatrix ight.)
Đáp số : ( m=0 )
Các cách thức giải hệ phương trình đối xứng các loại 2
Phương pháp trừ nhì vế
Đây là cách thức chung để giải phương trình đối xứng các loại 2.
Bước 1: Trừ hai vế khớp ứng của nhì phương trình, biến đổi phương trình chiếm được về dạng phương trình tích: ( (x-y).f(x;y) =0 )Bước 2: Giải phương trình ( f(x;y) =0 ) nhằm tìm quan hệ ( x;y ). Tiếp nối thay vào một trong những phương trình trong hệ thuở đầu để giải ra ( x;y ) (chú ý cố cả trường phù hợp ( x-y=0 ) )Bước 3: tóm lại nghiệm.Ví dụ:
Giải hệ phương trình :
(left{eginmatrix x^3=3x+8y\ y^3=3y+8x endmatrix ight.)
Cách giải:
Để giải hệ phương trình đối xứng nhiều loại 2 bậc 3 này thì chúng ta cần ghi nhớ hằng đẳng thức : ( A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2) )
Trừ hai vế của nhì phương trình ta được :
((x^3-y^3)+5(x-y)=0 Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2+5)=0 ;;;; (1) )
Ta bao gồm : (x^2+xy+y^2+5= (x+fracy2)^2+frac3y^24+5 geq 5 >0)
Vậy tự ((1) Rightarrow x=y)
Thay vào ta được:
(x^3=11x Leftrightarrow left<eginarrayl x=0\x=pm sqrt11 endarray ight.)
Vậy phương trình vẫn cho có ( 3 ) cặp nghiệm thỏa mãn : ( (x;y) =(0;0) ; (sqrt11;sqrt11) ; (-sqrt11;-sqrt11) )
Phương pháp hàm số
Như ta biết thì hệ phương trình ĐX bậc hai là 1 trong những dạng hệ phương trình đối xứng vòng quanh bao gồm ( 2 ) ẩn dạng:
(left{eginmatrix f(x)=g(y)\f(y)=g(x) endmatrix ight.)
Nếu ta chứng minh được hàm số ( f(t) ; g(t) ) cùng đồng đổi thay thì trả sử ( xleq y ) ta bao gồm :
( f(x) leq f(y) =g(x) leq g(y) )
Mà mặt khác vị ( f(x) =g(y) ) yêu cầu đẳng thức xảy ra. Vậy ( f(x)=g(x) ). Giải phương trình thu được x , từ kia tìm ra nghiệm của hệ phương trình
***Chú ý: trong trường đúng theo hàm ( f(t);g(t) ) cùng nghịch biến thì có tác dụng tương tự
Đây cũng là phương thức để giải các bài toán hệ phương trình đối xứng vòng quanh nhiều ẩn:
(left{eginmatrix f(x)=g(y)\f(y)=g(z)\f(z)=g(x) endmatrix ight.)
Ví dụ:
Giải hệ phương trình :
(left{eginmatrix x^3+x=3y\y^3+y=3x endmatrix ight.)
Cách giải:
Xét hàm số ( f(t) =t^3+t ) và hàm số ( g(t) = 3t )
Dễ thấy cả ( f(t) ; g(t) ) phần lớn đồng biến. Vì đó, giả sử ( xleq y ), từ bỏ hệ phương trình đã mang đến ta bao gồm :
( f(x) leq f(y) = g(x) leq g(y) )
Mà bởi vì ( f(x) =g(y) ) ( theo hệ phương trình ) đề nghị đẳng thức xảy ra, vậy ( f(x) =g(x) )
Do đó : ( x^3+x=3x Leftrightarrow x(x^2-2)=0 )
(Leftrightarrow left<eginarrayl x=0\x=pm sqrt2 endarray ight.)
Vậy hệ phương trình bao gồm ( 3 ) cặp nghiệm ((x;y)=(0;0);(sqrt2;sqrt2);(-sqrt2;-sqrt2))
Giải hệ phương trình đối xứng một số loại 2 cất căn
Đây là 1 dạng hệ phương trình đối xứng một số loại 2 cực nhọc do gồm căn thức nên nều trừ thẳng như cách thường thì thì vẫn không xuất hiện biểu sản phẩm công nghệ ( (x-y) ) ngay. Bởi vì đó bọn họ cần đề nghị sử dụng phương thức nhân phối hợp để biến đổi tạo ra nhân tử ( (x-y) ). Một số biến hóa cần xem xét :
(sqrta-sqrtb = fraca-bsqrta+sqrtb)
(sqrt<3>a-sqrt<3>b=fraca-bsqrt<3>a^2+sqrt<3>ab+sqrt<3>b^2)
Ngoài ra họ có nhằm sử dụng phương thức đặt ẩn phụ là biểu thức đựng căn để tạo thành hệ bắt đầu không cất căn.
***Chú ý: kiểm tra ĐKXĐ trước khi giải.
Ví dụ:
Giải hệ phương trình (left{eginmatrix sqrtx+5+sqrty-2=7\ sqrty+5+sqrtx-2=7 endmatrix ight.)
Cách giải:
ĐKXĐ: ( x;y geq 2 )
Trừ nhị vế của nhị phương trình ta được : ((sqrtx+5-sqrty+5)-(sqrtx-2-sqrty-2)=0)
(Leftrightarrow (x-y)(frac1sqrtx+5+sqrty+5-frac1sqrtx-2+sqrty-2)=0 ;;;;; (1) )
Ta có:
(left{eginmatrix sqrtx+5>sqrtx-2\ sqrty+5>sqrty-2 endmatrix ight. Rightarrow sqrtx+5+sqrty+5>sqrtx-2+sqrty-2)
(Rightarrow frac1sqrtx+5+sqrty+5
Vậy (Rightarrow frac1sqrtx+5+sqrty+5 -frac1sqrtx-2+sqrty-2
Do kia từ ((1)Rightarrow x=y)
Thay vào ta được:
(sqrtx+5+sqrtx-2=7 Leftrightarrow 2x+3+2sqrtx^2+3x-10=49)
(Leftrightarrow 23-x=sqrtx^2+3x-10 Rightarrow x^2-46x+529=x^2+3x-10)
(Rightarrow 49x=539 Rightarrow x=11) ( thỏa mãn)
Vậy ( x=y=11 )
Bài tập về hệ phương trình đối xứng một số loại 2
Ví dụ 3: Giải những hệ phương trình dưới đây.
Vậy hệ phương trình sẽ cho bao gồm nghiệm x = y = 3
Sau đấy là một số bài xích tập để các bạn luyện tập phần hệ phương trình đối xứng nhiều loại 2.
Bài 1: Giải hệ phương trình:
(left{eginmatrix 2x+3+sqrt4-y=4\ 2y+3+sqrt4-x=4 endmatrix ight.)
Đáp số: ( (x;y) = (3;3) ; (frac119;frac119) )
Bài 2: Giải hệ phương trình:
(left{eginmatrix x+sqrt<4>y-1=1\ y+sqrt<4>x-1=1 endmatrix ight.)
Đáp số ( x=y=1 )
Bài 3:
Tìm ( m ) nhằm hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
(left{eginmatrix x^2-x-y+m=0 \ y^2-y-x+m=0 endmatrix ight.)
Đáp số : ( m=1 )
Phương trình có thông số đối xứng là gì?
Định nghĩa phương trình có thông số đối xứng
Phương trình có thông số đối xứng bậc ( n ) là phương trình tất cả dạng ( f(x) =0 ) vào đố ( f(x) ) là đa thức với không hề thiếu các số hạng sắp xếp từ bậc cao đến bậc tốt ( ( x^n; x^n-1; … ; x; x^0 ) ) làm sao cho từng cặp hệ số cách hồ hết hai đầu thì bằng nhau, tức là:
(f(x)=a_nx^n+a_n-1x^n-1+…+a_1x+a_0)
Với (a_i=a_n-i) với ( i=0;1;2;…;n )
Ví dụ : (ax^4+bx^3+cx^2+bx+a =0) là phương trình thông số đối xứng bậc ( 4 )
(ax^3+bx^2+bx+a=0) là phương trình thông số đối xứng bậc ( 3 )
Tính chất của phương trình có thông số đối xứng
Phương trình thông số đối xứng bậc chẵn nếu tất cả nghiệm ( x_0 ) thì ( x_0 eq 0 ) và cũng nhấn (frac1x_0) là nghiệm.Phương trình hệ số đối xứng bậc lẻ luôn phân tích được bên dưới dạng : ( (x+1).f(x) ) vói ( f(x) ) là phương trình hệ số đối xứng bậc chẵn.Do đó:
Phương trình đối xứng bậc lẻ luôn có nghiệm ( x=-1 )Giải phương trình đối xứng bậc lẻ quy về giải phương trình đối xứng bậc chẵn.Xem thêm: Các Bài Đọc Hiểu Tiếng Anh Luyện Thi Đại Học, Please Wait
Cách giải phương trình có thông số đối xứng
Do giải phương trình đối xứng bậc lẻ quy về giải phương trình đối xứng bậc chẵn nên tại chỗ này ta chỉ xét bí quyết giải phương trình đối xứng bậc chẵn:
(f(x)=a_nx^n+a_n-1x^n-1+…+a_1x+a_0) với ( n ) chẵn
Bước 1: vì ( x=0 ) không là nghiệm của phương trình, phân chia cả nhì vế phương trình mang lại (x^fracn2)Bước 2: Đặt (t=x+frac1x) với đk ( |t| geq 2 ) , biến đổi phương trình nhận được về phương trình ẩn ( t )Bước 3: Sau khi tìm được ( t ) , giải phương trình (t=x+frac1x) nhằm tìm ra ( x )Ví dụ:
Giải phương trình : ( 3x^4+7x^3+7x+3 =0 )
Cách giải:
Do ( x=0 ) ko là nghiệm của phương trình nên chia cả nhì vế phương trình mang lại ( x^2 ) ta được :
(3x^2+7x+frac7x+frac3x^2=0)
(Leftrightarrow 3(x^2+frac1x^2)+7(x+frac1x)=0)
(Leftrightarrow 3(x+frac1x)^2-6+7(x+frac1x)=0)
Đặt (t=x+frac1x). ĐK : (|t| geq 2)
Phương trình vẫn cho tương đương với :
(3t^2+7t-6=0 Leftrightarrow (t+3)(3t-2)=0)
(Leftrightarrow left<eginarraylt=-3 \ t=frac32endarray ight.)
Do (|t| geq 2) phải ( t=-3 )
Vậy ta có:
(x+frac1x=-3 Leftrightarrow x^2+3x+1=0)
(Leftrightarrow left<eginarrayl x= frac-3+sqrt52\x=frac-3-sqrt52 endarray ight.)
Bài viết trên đây của aspvn.net đã giúp bạn tổng hợp định hướng và các phương pháp giải hệ phương trình đối xứng các loại 1 loại 2 cũng giống như những câu chữ liên quan. Mong muốn kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho chính mình trong quy trình học tập và nghiên cứu và phân tích về chủ đề hệ phương trình đối xứng. Chúc bạn luôn học tốt!.