Bài viết lí giải nhận dạng và bí quyết giải hệ phương trình đối xứng các loại 2 cùng những bài toán có liên quan đến hệ phương trình đối xứng các loại 2.
I. LÝ THUYẾT CẦN NẮM1. Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng nhiều loại 2 là hệ phương trình có dạng: $left{ eginarraylfleft( x;y ight) = a\fleft( y;x ight) = aendarray ight.$ $(*).$2. Cách giải hệ phương trình đối xứng một số loại 2:Trừ nhị phương trình của hệ lẫn nhau ta được: $fleft( x;y ight) – fleft( y;x ight) = 0$ $ Leftrightarrow left( x – y ight)gleft( x;y ight) = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx = y\gleft( x;y ight) = 0endarray ight.$3. Chú ý:+ giả dụ hệ phương trình $(*)$ tất cả nghiệm $left( x_0;y_0 ight)$ thì $left( y_0;x_0 ight)$ cũng là nghiệm của hệ phương trình $(*)$. Từ đó suy ra, nếu hệ phương trình $(*)$ có nghiệm tuyệt nhất thì đk cần là $x_0=y_0.$+ $fleft( x;y ight) + fleft( y;x ight) = 2a$ là một phương trình đối xứng.
II. VÍ DỤ MINH HỌAVí dụ 1. Giải những hệ phương trình sau:1. $left{ eginarraylx^2 = 3x + 2y\y^2 = 3y + 2xendarray ight.$2. $left{ eginarraylx^3 + 1 = 2y\y^3 + 1 = 2xendarray ight.$
1. Trừ vế với vế hai phương trình của hệ, ta được:$x^2 – y^2 = x – y$ $ Leftrightarrow left( x – y ight)left( x + y – 1 ight) = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx = y\x = 1 – yendarray ight.$+ Với $x = y Rightarrow x^2 = 3x$ $ Leftrightarrow x = 0,x = 3.$+ Với $x = 1 – y$ $ Rightarrow y^2 = 3y + 2left( 1 – y ight)$ $ Leftrightarrow y^2 – y – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarrayly = – 1 Rightarrow x = 2\y = 2 Rightarrow x = – 1endarray ight.$Vậy hệ phương trình sẽ cho tất cả nghiệm: $left( x;y ight) = left( 0;0 ight),left( 3;3 ight)$, $left( – 1;2 ight),left( 2; – 1 ight).$2. Trừ nhị phương trình của hệ, ta được:$x^3 – y^3 = 2left( y – x ight)$ $ Leftrightarrow left( x – y ight)left( x^2 + xy + y^2 + 2 ight) = 0$ $ Leftrightarrow x = y$ (do $x^2 + xy + y^2 + 2 > 0$, $forall x,y$).Thay vào hệ phương trình, ta được:$x^3 + 1 = 2x$ $ Leftrightarrow left( x – 1 ight)left( x^2 + x – 1 ight) = 0$ $ Leftrightarrow x = 1$, $x = frac – 1 pm sqrt 5 2.$Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: $left< eginarraylx = y = 1\x = y = frac – 1 pm sqrt 5 2endarray ight.$
Ví dụ 2. Giải những hệ phương trình sau:1. $left{ eginarraylfrac3x^2 = 2x + y\frac3y^2 = 2y + xendarray ight.$2. $left{ eginarraylsqrt x + 9 + sqrt y – 7 = 8\sqrt y + 9 + sqrt x – 7 = 8endarray ight.$
1. Điều kiện: $x,y e 0.$Hệ phương trình $ Leftrightarrow left{ eginarrayl2x^3 + x^2y = 3\2y^3 + y^2x = 3endarray ight.$ $ Rightarrow 2left( x^3 – y^3 ight) + xyleft( x – y ight) = 0$ $ Leftrightarrow left( x – y ight)left( 2x^2 + 3xy + 2y^2 ight) = 0$ $ Leftrightarrow x = y$ (do $2x^2 + 3xy + 2y^2$ $ = 2left( x + frac34y ight)^2 + frac78y^2 > 0$).Thay vào hệ phương trình, ta được: $3x^3 = 3$ $ Leftrightarrow x = 1 = y.$Vậy hệ phương trình vẫn cho có nghiệm $x=y=1.$2. Điều kiện: $x,y ge 7.$Trừ hai phương trình của hệ, ta được:$sqrt x + 9 + sqrt y – 7 $ $ = sqrt y + 9 + sqrt x – 7 $ $ Leftrightarrow sqrt left( x + 9 ight)left( y – 7 ight) $ $ = sqrt left( y + 9 ight)left( x – 7 ight) $ $ Leftrightarrow x = y.$Thay vào hệ phương trình, ta được:$sqrt x + 9 + sqrt x – 7 = 8$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylsqrt x + 9 + sqrt x – 7 = 8\sqrt x + 9 – sqrt x – 7 = 2endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylsqrt x + 9 = 5\sqrt x – 7 = 3endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 16.$Vậy hệ phương trình đã cho tất cả nghiệm: $x=y=16.$
Ví dụ 3. Giải những hệ phương trình sau:1. $left{ eginarraylsqrt x + sqrt 2 – y = 2\sqrt y + sqrt 2 – x = 2endarray ight.$2. $left{ eginarraylsqrt 5x + 1 + sqrt 12 – y = 7\sqrt 5y + 1 + sqrt 12 – x = 7endarray ight.$
1. Điều kiện: $0 le x,y le 2.$Trừ nhị phương trình của hệ, ta được:$sqrt x – sqrt 2 – x $ $ = sqrt y – sqrt 2 – y $ $left( *
ight).$Do hàm số $fleft( t
ight) = sqrt t + sqrt 2 – t $ là một hàm tiếp tục và đồng biến đổi trên $(0;2).$Nên $left( *
ight) Leftrightarrow f(x) = f(y)$ $ Leftrightarrow x = y.$Thay vào hệ phương trình, ta có:$sqrt x + sqrt 2 – x = 2$ $ Leftrightarrow sqrt xleft( 2 – x
ight) = 1$ $ Leftrightarrow x = 1.$Vậy hệ phương trình đã cho gồm nghiệm: $x=y=1.$2. Điều kiện: $left{ eginarrayl– frac15 le x le 12\– frac15 le y le 12endarray
ight.$Trừ hai phương trình của hệ, ta được:$sqrt 5x + 1 – sqrt 12 – x $ $ = sqrt 5y + 1 – sqrt 12 – y $ $(*).$Xét hàm số: $fleft( t
ight) = sqrt 5t + 1 – sqrt 12 – t $, $t in left< – frac15;12
ight>$, ta có:$f’left( x
ight) = frac52sqrt 5t + 1 + frac12sqrt 12 – t > 0$, $forall t in left( – frac15;12
ight).$Suy ra: $left( *
ight) Leftrightarrow fleft( x
ight) = fleft( y
ight)$ $ Leftrightarrow x = y.$Thay $x=y$ vào hệ phương trình, ta được:$sqrt 5x + 1 + sqrt 12 – x = 7$ $ Leftrightarrow 4x + 13$ $ + 2sqrt left( 5x + 1
ight)left( 12 – x
ight) = 49$ $ Leftrightarrow sqrt – 5x^2 + 59x + 12 = 18 – 2x$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx le 9\9x^2 – 131x + 312 = 0endarray
ight.$ $ Leftrightarrow x = 3.$Vậy hệ phương trình vẫn cho tất cả nghiệm $x=y=3.$
1. Trừ nhị phương trình của hệ, ta được:$x^3 – y^3 = x – y$ $ Leftrightarrow left( x – y ight)left( x^2 + xy + y^2 – 1 ight) = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx = y\x^2 + xy + y^2 – 1 = 0endarray ight.$+ cùng với $x=y$, nạm vào hệ phương trình, ta được: $x^3 = 3x$ $ Leftrightarrow x = 0$, $x = pm sqrt 3 .$+ với $x^2 + xy + y^2 = 1$ $left( 1 ight)$, cộng hai phương trình của hệ phương trình, ta có: $x^3 + y^3 – 3left( x + y ight) = 0$ $left( 2 ight).$Từ $(1)$ với $(2)$, ta gồm hệ phương trình: $left{ eginarraylx^2 + xy + y^2 – 1 = 0\x^3 + y^3 – 3left( x + y ight) = 0endarray ight.$Đặt $S=x+y$, $P=xy$, ta có: $left{ eginarraylS^2 – p – 1 = 0\S^3 – 3SP – 3S = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylP = S^2 – 1\S^3 – 3Sleft( S^2 – 1 ight) – 3S = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylS = 0\P = – 1endarray ight.$$ Leftrightarrow left{ eginarraylx = 1\y = – 1endarray ight.$ hoặc $left{ eginarraylx = – 1\y = 1endarray ight.$Vậy hệ phương trình đã đến có các nghiệm: $left{ eginarraylx = 0\y = 0endarray ight.$, $left{ eginarraylx = – 1\y = 1endarray ight.$, $left{ eginarraylx = 1\y = – 1endarray ight.$, $left{ eginarraylx = sqrt 3 \y = sqrt 3endarray ight.$, $left{ eginarraylx = – sqrt 3 \y = – sqrt 3endarray ight.$2. Hệ phương trình $ Leftrightarrow left{ eginarraylxy^2 + 6x – y^2 – 6 = yx^2 + y\yx^2 + 6y – x^2 – 6 = xy^2 + xendarray ight.$Trừ vế theo vế nhị phương trình của hệ, ta được:$2xyleft( y – x ight) + 7left( x – y ight)$ $ + left( x – y ight)left( x + y ight) = 0$ $ Leftrightarrow left( x – y ight)left( x + y – 2xy + 7 ight) = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx = y\x + y – 2xy + 7 = 0endarray ight.$+ cùng với $x=y$, thế vào hệ phương trình, ta được: $x^2 – 5x + 6 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx = y = 2\x = y = 3endarray ight.$+ cùng với $x+y-2xy+7=0$ $(1)$, cùng hai phương trình của hệ vẫn cho, ta được: $x^2 + y^2 – 5x – 5y + 12 = 0$ $left( 2 ight).$Từ $(1)$ cùng $(2)$ ta gồm hệ phương trình: $left{ eginarraylx + y – 2xy + 7 = 0\x^2 + y^2 – 5x – 5y + 12 = 0endarray ight.$Đặt $S=x+y$, $P=xy$, ta có hệ phương trình:$left{ eginarraylS – 2P + 7 = 0\S^2 – 5S – 2P + 12 = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylP = fracS + 72\S^2 – 6S + 5 = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylS = 1\P = 4endarray ight.$ hoặc $left{ eginarraylS = 5\P = 6endarray ight.$+ với $left{ eginarraylS = 1\P = 4endarray ight.$, ta thấy hệ vô nghiệm.+ với $left{ eginarraylS = 5\P = 6endarray ight.$, ta có: $left{ eginarraylx = 2\y = 3endarray ight.$ hoặc $left{ eginarraylx = 3\y = 2endarray ight.$Vậy nghiệm của hệ phương trình đã mang đến là: $left( x;y ight) = left( 2;2 ight),left( 3;3 ight)$, $left( 2;3 ight),left( 3;2 ight).$
Ví dụ 5. Tìm $m$ nhằm hệ phương trình sau có nghiệm: $left{ eginarrayl2x + sqrt y – 1 = m\2y + sqrt x – 1 = mendarray ight.$
Điều kiện: $x,y ge 1$. Đặt $a = sqrt x – 1 $, $b = sqrt y – 1 $ $ Rightarrow a,b ge 0$, ta có:$left{ eginarrayl2a^2 + b = m – 2\2b^2 + a = m – 2endarray ight.$ $ Rightarrow 2left( a – b ight)left( a + b ight)$ $ + b – a = 0$ $ Leftrightarrow left( a – b ight)left( 2a + 2b – 1 ight) = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarrayla = b\a = frac1 – 2b2endarray ight.$+ Với $a = b$ $ Rightarrow 2a^2 + a = m – 2$ $ Rightarrow $ Phương trình có nghiệm $a ge 0$ $ Leftrightarrow m – 2 ge 0$ $ Leftrightarrow m ge 2.$+ Với $a = frac1 – 2b2$ $ Rightarrow left{ eginarrayl0 le b le frac12\4b^2 – 2b = 2m – 5endarray ight.$, hệ phương trình bao gồm nghiệm $ Leftrightarrow – frac14 le 2m – 5 le 0$ $ Leftrightarrow frac198 le m le frac52.$Vậy hệ phương trình sẽ cho gồm nghiệm khi và chỉ còn khi $m ge 2.$
Ví dụ 6.
Bạn đang xem: Giải hệ phương trình đối xứng loại 2
Xem thêm: Các Bài Đọc Hiểu Tiếng Anh Luyện Thi Đại Học, Please Wait
Search $m$ để những hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:1. $left{ eginarraylx = y^2 – y + m\y = x^2 – x + mendarray
ight.$2. $left{ eginarrayl3x^2 = y^3 – 2y^2 + my\3y^2 = x^3 – 2x^2 + mxendarray
ight.$
1. Điều kiện cần: mang sử hệ gồm nghiệm $left( x_0;y_0 ight)$ thì $left( y_0;x_0 ight)$ cũng chính là nghiệm của hệ nên để hệ gồm nghiệm tuyệt nhất thì thứ 1 $x_0=y_0.$Thay vào hệ ta được: $x_0^2 – 2x_0 + m = 0$, phương trình này còn có nghiệm duy nhất $ Leftrightarrow Delta’ = 1 – m = 0$ $ Leftrightarrow m = 1.$Điều kiện đủ: với $m = 1$ hệ trở thành:$left{ eginarraylx = y^2 – y + 1\y = x^2 – x + 1endarray ight.$ $ Rightarrow x^2 + y^2 – 2x – 2y + 2 = 0$ $ Leftrightarrow left( x – 1 ight)^2 + left( y – 1 ight)^2 = 0$ $ Leftrightarrow x = y = 1$ (thử lại ta thấy thỏa mãn nhu cầu hệ).Vậy hệ phương trình đang cho gồm nghiệm duy nhất lúc và chỉ lúc $m = 1.$2. Điều khiếu nại cần: mang sử hệ tất cả nghiệm $left( x_0;y_0 ight)$ thì $left( y_0;x_0 ight)$ cũng chính là nghiệm của hệ đề xuất để hệ tất cả nghiệm nhất thì trước nhất $x_0=y_0.$Thay vào hệ ta được: $x_0^3 – 5x_0^2 + mx_0 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx_0 = 0\x_0^2 – 5x_0 + m = 0left( * ight)endarray ight.$Để hệ phương trình có nghiệm nhất thì $(*)$ yêu cầu vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $x = 0.$$ Leftrightarrow left< eginarraylDelta = 25 – 4m left{ eginarraylDelta = 25 – 4m = 0\5 = 0endarray ight.endarray ight.$ $ Leftrightarrow m > frac254.$Điều khiếu nại đủ: với $m > frac254$, ta có:$left< eginarrayl3x^2 = yleft( y^2 – 2y + m ight) = yleft< left( y – 1 ight)^2 + m – 1 ight>\3y^2 = xleft( x^2 – 2x + m ight) = xleft< left( x – 1 ight)^2 + m – 1 ight>endarray ight.$ $ Rightarrow x,y ge 0.$Cộng nhì phương trình của hệ cùng với nhau, ta được:$xleft( x^2 – 5x + m ight)$ $ + yleft( y^2 – 5y + m ight) = 0$ $ Leftrightarrow xleft< left( x – frac52 ight)^2 + m – frac254 ight>$ $ + yleft< left( y – frac52 ight)^2 + m – frac254 ight> = 0$ $ Leftrightarrow x = y = 0.$Vậy hệ phương trình vẫn cho bao gồm nghiệm duy nhất lúc và chỉ lúc $m > frac254.$
Ví dụ 7. Chứng minh rằng hệ phương trình $left{ eginarrayl2x^2 = y + fraca^2y\2y^2 = x + fraca^2xendarray ight.$ gồm nghiệm tốt nhất với mọi $a e 0.$
Điều kiện: $x e 0.$Từ nhì phương trình của hệ $ Rightarrow x,y > 0.$Hệ phương trình $ Leftrightarrow left{ eginarrayl2x^2y = y^2 + a^2\2y^2x = x^2 + a^2endarray ight.$ $ Rightarrow 2xyleft( x – y ight) = y^2 – x^2$ $ Leftrightarrow left( x – y ight)left( 2xy + x + y ight) = 0$ $ Leftrightarrow x = y$ (do $x,y > 0$ $ Rightarrow 2xy + x + y > 0$).Thay vào hệ phương trình, ta được: $a^2 = 2x^3 – x^2 = fleft( x ight)$ $(*).$Xét hàm số: $fleft( x ight) = 2x^3 – x^2$ với $x>0.$Ta có: $f’left( x ight) = 2xleft( 3x – 1 ight)$ $ Rightarrow f’left( x ight) = 0$ $ Leftrightarrow x = frac13.$Mà $fleft( 0 ight) = 0$, $fleft( frac13 ight) = – frac127$ và $a^2 > 0$ nên phương trình $(*)$ chỉ gồm duy độc nhất một nghiệm.Vậy hệ vẫn cho luôn luôn có nghiệm duy nhất với đa số $a e 0.$