Giải hệ phương trình bậc cao là dạng bài bác tập khó khăn thường xuất hiện ở trong đề thi HSG Toán lớp 9, đề thi môn vào 10 chuyên Toán.

Bạn đang xem: Giải hệ phương trình lớp 9 nâng cao

Muốn giải được những hệ phương trình bậc cao các em học sinh đọc những phương pháp dưới đây.

Phương pháp đưa về hằng đẳng thức

Đây là phương pháp mà bọn họ nên để ý đầu tiên. Bọn họ cần để ý xem phương trình vào hệ gồm thể biến đổi về những hằng đẳng thức đã học tuyệt không.

Chúng ta xét các ví dụ dưới đây để hiểu về phương pháp này.

Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau

a)

*
x+2+2sqrty+2=5endarray ight." title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="43" width="268" style="vertical-align: -17px;">

b)

*

Giải

a) Điều kiện:

*
. Phương trình (1) tương đương:

*

Đặt

*
. Ta bao gồm phương trình:
*
⇔
*
. Do
*
0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="27" width="321" style="vertical-align: -7px;">suy ra phương trình cho ta
*

*
thay vào ta có:
*
5-2y+2sqrty+2=5Leftrightarrow" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="203" style="vertical-align: -4px;"> Đặt
*
5-2y;b=sqrty+2" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="191" style="vertical-align: -4px;">ta có hệ phương trình sau:

*
.

*

Vậy hệ gồm nghiệm

*

b) Điều kiện: .

Ta viết lại phương trình (1) thành:

*

*

Dễ thấy

*
không phải là nghiệm. Khi
*
thay vào (2) ta được:

*

(thỏa mãn). Vậy hệ tất cả nghiệm

*
.

Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau

a)

*

b)

*
14-xsqrt3-2y+1endarray ight." title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="44" width="339" style="vertical-align: -17px;">

Giải

a) Điều kiện:

*
.

Ta thấy

*
không là nghiệm của hệ. Phân chia hai vế của (1) mang đến
*
ta được:

*
. Đặt
*
ta có phương trình:
*
suy ra
*

*
. Từ đó tính được
*

Vậy hệ đã cho có nghiệm .

b) Điều kiện:

*
.Ta thấy khi thì hệ không tồn tại nghiệm.

Chia phương trình (1) đến

*
:

*

*

Đặt

*
. Ta tất cả
*
⇒
*
⇔
*
.

Thay vào (2) ta được:

*
15-x=1Leftrightarrow x+1=sqrt<3>15-xLeftrightarrow x^3+3x^2+4x-14=0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="524" style="vertical-align: -3px;">.

⇔

*
. Vậy hệ bao gồm nghiệm
*
.

Áp dụng công thức nghiệm Δ của phương trình bậc 2

Khi trong hệ phương trình có chứa phương trình bậc 2 theo ẩn x, hoặc y ta biến đổi x theo y hoặc y theo x dựa vào công thức nghiệm Δ của phương trình bậc 2. Cụ thể như sau:

* Nếu Δ chẵn, ta giải x theo y rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để giải tiếp

* Nếu Δ không chẵn ta thường xử lý theo cách:

+ Cộng hoặc trừ các phương trình của hệ để tạo được phương trình bậc hai bao gồm chẵn hoặc tạo thành các hằng đẳng thức

+ sử dụng điều kiện Δ ≥ 0 để tìm miền giá chỉ trị của biến x, y. Sau đó đánh giá chỉ phương trình còn lại trên miền giá trị x, y vừa tìm được:

Minh họa giải pháp làm này qua những ví dụ dưới đây.

Ví dụ 3: Giải những hệ phương trình sau

a)

*

b)

*

Giải

Xét phương trình (1) của hệ ta có:

*
. Ta coi đây là phương trình bậc 2 của thì ta có:
*
. Từ đó suy ra

*

Trường hợp 1:

*
. Từ phương trình của hệ ta bao gồm điều kiện:
*
suy ra phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2:

*
thay vào phương trình thứ hai ta có:

*

Vậy hệ bao gồm một cặp nghiệm:

*

b) Xét phương trình (1) của hệ ta có:

*

Coi đây là phương trình bậc 2 của ta có:

*

Suy ra

*

Trường hợp 1:

*
cố kỉnh vào phương trình (2) ta thu được:

*

⇔

*
=0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="32" width="336" style="vertical-align: -11px;">

Do

*
nên
*
0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="27" width="252" style="vertical-align: -11px;">

⇒

*

Trường hợp 2:

*
thay vào phương trình (2) ta thu được:

*

Giải tương tự như bên trên ta được

*
.

Kết luận: Hệ phương trình gồm 2 cặp nghiệm:

*

Phương pháp đánh giá

Để giải được hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá chỉ ta cần nắm chắc các bất đẳng thức cơ bản như: Cauchy, Bunhicopxki, các phép biến đổi trung gian giữa các bất đẳng thức, qua đó để đánh giá tìm ra quan hệ

*
.

Ngoài ra ta cũng gồm thể dùng hàm số để search GTLN, GTNN từ đó có hướng đánh giá, đối chiếu phù hợp.

Ví dụ 4: Giải những hệ phương trình sau

a)

*

b)

*
4xleft( 8x+1 ight)endarray ight." title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="55" width="271" style="vertical-align: -23px;">

Giải

a) Điều kiện:

*
.

Đặt

*
" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="32" width="246" style="vertical-align: -11px;">.

Ta có:

*
.

Ta sử dụng bổ đề với

*
0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="57" style="vertical-align: -4px;">và
*
ta gồm bất đẳng thức:

*
(đúng).

Vậy

*
.

Đẳng thức xảy ra lúc

*
. Ráng vào(2) ta tìm kiếm được nghiệm của phương trình.

Nghiệm của hệ

*
.

b) Điều kiện:

*
.

Phương trình (1) tương đương:

*
.

Đặt

*
phương trình (1) thành:

*

Thay vào (2) ta được:

*
32x^2+4x" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="232" style="vertical-align: -2px;">.

Xem thêm: Tìm M Để Pt Có Nghiệm, Tìm M Để Phương Trình Sau Có Nghiệm, Điều Kiện Để Phương Trình Có Nghiệm

Ta có

*
32x^2+4x=sqrt<3>1.1.left( 32x^2+4x ight)le frac32x^2+4x+23" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="25" width="492" style="vertical-align: -6px;">

*

Từ đó ta có những nghiệm của hệ là: Vậy hệ có nghiệm

*
.

Bài tập giải hệ PT bậc cao

Bài 1: Giải hệ phương trình

*

Bài 2:Giải hệ phương trình

*

Bài 3:Giải hệ phương trình

*

Bài 4:Giải hệ phương trình:

*

Bài 5:Tìm

*
thỏa mãn :
*

Cùng siêng đề:

Chuyên đề: Tam giác đồng dạng – Toán nâng cao lớp 9 >>