Các dạng phương trình chứa căn bậc hai, bất phương trình cất căn thức bậc hai luôn là một dạng toán lộ diện nhiều trong số kì thi học kì, thi tuyển sinh vào lớp 10, thi THPTQG.
Bạn đang xem: Giải phương trình chứa căn lớp 9
Để giải được phương trình, bất phương trình chứa căn, những em học viên cần nắm vững kiến thức sau:
1. Nguyên tắc chung để giải phương trình, bất phương trình chứa căn bậc 2
Nguyên tắc phổ biến để khử vệt căn thức là bình phương 2 vế của một phương trình, bất phương trình. Tuy nhiên, để bảo đảm an toàn việc bình phương này cho bọn họ một phương trình, bất phương trình mới tương tự thì rất cần phải có đk cả 2 vế pt, bpt hầu như không âm.
Do đó, về bạn dạng chất, bọn họ lần lượt đánh giá 2 trường vừa lòng âm, và không âm của những biểu thức (thường là 1 trong những vế của phương trình, bất phương trình vẫn cho).
2. Những dạng phương trình cất căn, bất phương trình chứa nền tảng gốc rễ bản
Có khoảng 4 dạng phương trình chứa căn, bất phương trình cất căn cơ bản đó là
3. Bí quyết giải phương trình đựng căn, phương pháp giải bất phương trình cất căn
Chi ngày tiết về phương pháp giải những dạng phương trình, bất phương trình chứa căn, xin mời thầy cô và các em học sinh theo dõi trong đoạn clip sau đây.
4. Một trong những ví dụ về phương trình với bất phương trình chứa căn thức
Ví dụ 1. Giải phương trình
$$sqrt 4 + 2x – x^2 = x – 2$$
Hướng dẫn. Phương trình sẽ cho tương đương với
<eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx – 2 ge 0\4 + 2x – x^2 = (x – 2)^2endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 2\x^2 – 3x = 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 2\x = 0, vee ,x = 3endarray ight. \ Leftrightarrow x = 3endarray> Vậy phương trình sẽ cho có nghiệm tuyệt nhất $x = 3$.
Ví dụ 2. Giải phương trình
Hướng dẫn. Phương trình sẽ cho tương đương với
<eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx – 1 ge 0\25 – x^2 = (x – 1)^2endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 1\2x^2 – 2x – 24 = 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 1\x = 4, vee ,x = – 3endarray ight. \ Leftrightarrow x = 4endarray> Vậy phương trình bao gồm nghiệm tốt nhất $x=4$.
Ví dụ 3. Giải phương trình
Hướng dẫn. Phương trình đang cho tương tự với
<eginarrayl,,,,,,,,sqrt 3x^2 – 9x + 1 = x – 2\, Leftrightarrow left{ eginarraylx – 2 ge 0\3x^2 – 9x + 1 = (x – 2)^2endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 2\2x^2 – 5x – 3 = 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 2\x = 3 vee ,x = – frac12endarray ight. \ Leftrightarrow x = 3endarray> Vậy phương trình đã cho gồm nghiệm độc nhất $x = 3$.
Ví dụ 4. Giải phương trình $$sqrt x^2 – 3x + 2 = x – 1$$
Hướng dẫn. Phương trình vẫn cho tương tự với $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx – 1 ge 0\x^2 – 3x + 2 = left( x – 1 ight)^2endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 1\x = 1endarray ight. \ Leftrightarrow x = 1endarray$$ Vậy phương trình vẫn cho gồm nghiệm duy nhất $x = 1$.
Ví dụ 5. Giải phương trình $$sqrt x^2 – 5x + 4 = sqrt – 2x^2 – 3x + 12 $$
Hướng dẫn. Phương trình sẽ cho tương tự với $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx^2 – 5x + 4 ge 0\x^2 – 5x + 4 = – 2x^2 – 3x + 12endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylleft( x – 1 ight)left( x – 4 ight) ge 0\3x^2 – 2x – 8 = 0endarray ight. & \Leftrightarrow left{ eginarraylleft< eginarraylx le 1\x ge 4endarray ight.\left< eginarraylx = 2\x = frac – 86endarray ight.endarray ight. Leftrightarrow x = frac – 86endarray$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm độc nhất vô nhị $x = frac-86$.
Ví dụ 6. Giải bất phương trình $$x + 1 ge sqrt 2left( x^2 – 1 ight) $$
Hướng dẫn. Bất phương trình đang cho tương tự với $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx + 1 ge 0\left( x + 1 ight)^2 ge 2left( x^2 – 1 ight) ge 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge – 1\x^2 – 2x – 3 le 0\x^2 – 1 ge 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge – 1\– 1 le x le 3\left< eginarraylx le – 1\x ge 1endarray ight.endarray ight. Leftrightarrow left< eginarraylx = – 1\1 le x le 3endarray ight.endarray$$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = left< 1;3 ight> cup left – 1 ight$.
Ví dụ 7. Giải bất phương trình $$2x – 5 left{ eginarrayl2x – 5 – x^2 + 4x – 3 ge 0endarray ight. Và left( 1 ight)\left{ eginarrayl2x – 5 ge 0\left( 2x – 5 ight)^2 endarray ight. & left( 2 ight)endarray ight.$$
Hệ bất phương trình (1) tương đương với $$left{ eginarraylx 1 le x le 3endarray ight. Leftrightarrow 1 le x Hệ bất phương trình (2) tương đương với $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx ge frac52\5x^2 – 24x + 28 endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge frac52\2 endarray ight. Leftrightarrow frac52 le x endarray$$Lấy đúng theo tập nghiệm của 2 trường hợp trên, được đáp số cuối cùng là $S = left< 1;frac145 ight)$.
Ví dụ 8. Giải phương trình $$sqrt x + 4 – sqrt 1 – x = sqrt 1 – 2x $$
Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương tự với
$$eginarrayl,,,,,,,sqrt x + 4 = sqrt 1 – 2x + sqrt 1 – x \Leftrightarrow left{ eginarrayl– 4 le x le frac12\x + 4 = 1 – x + 2sqrt (1 – x)(1 – 2x) + 1 – 2xendarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarrayl– 4 le x le frac12\sqrt (1 – x)(1 – 2x) = 2x + 1endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarrayl– 4 le x le frac12\x ge – frac12\(1 – x)(1 – 2x) = 4x^2 + 4x + 1endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarrayl– frac12 le x le frac12\x = 0 vee x = – frac72endarray ight. Leftrightarrow x = 0endarray$$ Vậy phương trình đang cho tất cả nghiệm nhất $x = 0$.
Ví dụ 9. Giải phương trình $$sqrt 3x + 1 – sqrt 2x – 1 = sqrt 6 – x $$
Hướng dẫn. Điều khiếu nại $left{ eginalign & 3x+1ge 0 \ & 2x-1ge 0 \ & 6-xge 0 \ endalign ight.Leftrightarrow left{ frac12le xle 6 ight.$
Với đk đó, phương trình sẽ cho tương đương với $$eginarrayl,,,,,,,sqrt 3x + 1 – sqrt 2x – 1 = sqrt 6 – x \Leftrightarrow ,,,sqrt 3x + 1 = sqrt 6 – x + sqrt 2x – 1 \Leftrightarrow ,,,3x + 1 = 6 – x + 2x – 1 + 2sqrt 6 – x sqrt 2x – 1 \Leftrightarrow ,,,2x – 4 = 2sqrt 6 – x sqrt 2x – 1 \Leftrightarrow ,,x – 2 = sqrt 6 – x sqrt 2x – 1 \Leftrightarrow ,,x^2 – 4x + 4 = – 2x^2 + 13x – 6,,,(x ge 2)\Leftrightarrow ,,3x^2 – 17x + 10 = 0\Leftrightarrow left< eginarraylx = 5\x = frac23left( l ight)endarray ight.endarray.$$ Vậy phương trình đã cho gồm nghiệm $x=5$.
Ví dụ 10.
Xem thêm: Lý Thuyết, Bài Tập Chuyên Đề Bài Tập Phát Hiện Lỗi Sai Tiếng Anh (Có Đáp Án)
Giải bất phương trình $$2sqrtx-3-frac12sqrt9-2xge frac32$$
Hướng dẫn. Điều kiện $left{ eginalign và x-3ge 0 \ và 9-2xle 0 \ endalign ight.Leftrightarrow 3le xle frac92$
Với đk trên, bất phương trình vẫn cho tương tự với <eginarrayl,,,,,,,2sqrt x – 3 ge frac12sqrt 9 – 2x + frac32\Leftrightarrow 4left( x – 3 ight) ge frac14left( 9 – 2x ight) + frac94 + frac32sqrt 9 – 2x \Leftrightarrow 16x – 48 ge 18 – 2x + 6sqrt 9 – 2x \Leftrightarrow 9x – 33 ge 3sqrt 9 – 2x \Leftrightarrow left{ eginarrayl18x – 64 ge 0\left( 9x – 33 ight)^2 ge 9left( 9 – 2x ight)endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge frac329\81x^2 – 576x + 1008 ge 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge frac329\left< eginarraylx le frac289\x ge 4endarray ight.endarray ight. Leftrightarrow x ge 4endarray>
Kết hợp với điều khiếu nại ta có tập nghiệm của bất phương trình là $S=left< 4;,frac92 ight>$.
Xem những ví dụ không giống nữa trên đây: Phương pháp đổi khác tương đương giải phương trình đựng căn