Hệ pt đối xứng loại 2

Dạng toán hệ phương trình đối xứng là một trong những dạng bài bác tập xuất hiện thêm trong đề thi Toán tuyển chọn sinh vào 10 những trường chuyên. Hệ PT đối xứng chia ra làm 2 dạng là nhiều loại 1 và một số loại 2.

Bạn đang xem: Hệ pt đối xứng loại 2

Dưới đấy là lý thuyết và bài bác tập về chăm đề này.

I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I

Phần 1- Định nghĩa chung: Dựa vào triết lý đa thức đối xứng. – Phương trình $ displaystyle n$ ẩn $ displaystyle x_1,x_2, ext …,x_n$ gọi là đối xứng cùng với $ displaystyle n$ ẩn nếu cụ $ displaystyle x_i$ bởi $ displaystyle x_j;~x_j$ bởi $ displaystyle x_i$ thì phương trình không cầm đổi. – khi ấy phương trình luôn được trình diễn dưới dạng: $ displaystyle x_1+x_2+ ext … ext +x_n$ $ displaystyle x_1x_2+x_1x_3+ ext … ext +x_1x_n+x_2x_1+x_2x_3+ ext … ext +x_n-1x_n$ …………………………. $ displaystyle x_1x_2…x_n$ – Hệ phương trình đối xứng một số loại một là hệ mà trong các số đó gồm các phương trình đối xứng. – Để giải được hệ phương trình đối xứng nhiều loại 1 ta đề xuất dùng định lý Viét. * Nếu nhiều thức $ displaystyle Fleft( x ight) ext =a_0x^n~+a_1x^n^-1+…a_n,a_0 e ext 0,a_iin P$ có nghiệm trên $ displaystyle P$ là $ displaystyle c_1, ext …,c_n$ thì: $ displaystyle left{ eginarraylc_1+c_2+… ext +c_n=-fraca_1a_0\c_1c_2+c_1c_3+ ext … ext +c_1c_n+c_2c_1+c_2c_3+… ext +c_n-1c_n=fraca_2a_0\………………………….\c_1c_1 ext … ext c_n=(-1)^n.fraca_na_0endarray ight.$ (Định lý Viét tổng quát) Phần 2 – Hệ phương trình đối xứng nhiều loại 1 nhị ẩn: 1. Định lý Viét mang lại phương trình bậc 2: nếu phương trình bậc nhì ax2 + bx + c = 0 bao gồm hai nghiệm x1, x2 thì: $ displaystyle left{ eginarraylS=x_1+x_2 ext =-fracba\P=x_1.x_2=fraccaendarray ight.$ Ngược lại, ví như 2 số x1, x2  có $ displaystyle left{ eginarrayl ext x_1+x_2=S\ ext x_1.x_2=Pendarray ight.$ thì $ displaystyle x_1,x_2$ là nghiệm của phương trình $ displaystyle X^2-SX ext +P= ext 0.$ 2. Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại 1 nhì ẩn có dạng $ displaystyle left{ eginarraylf(x,y)=0\g(x,y)=0endarray ight.$, trong các số ấy $ left{ eginarraylf(x,y)=f(y,x)\g(x,y)=g(y,x)endarray ight.$. 3. Cách giải: cách 1: Đặt điều kiện (nếu có). Cách 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và $ S^2ge 4P$. Bước 3: gắng $ displaystyle x,y$ bởi $ displaystyle S,P$ vào hệ phương trình. Giải hệ kiếm tìm $ displaystyle S,P$ rồi sử dụng Viét hòn đảo tìm $ displaystyle x,y$. Chú ý: + đề nghị nhớ: $ displaystyle x^2+y^2=S^2 ext 2P,x^3+y^3=S^3 ext 3SP.$ + Đôi lúc ta phải kê ẩn phụ $ displaystyle u=uleft( x ight),v=vleft( x ight)$ và $ displaystyle S=u+v, ext P ext =uv.$ + có những hệ phương trình trở nên đối xứng nhiều loại 1 sau khi đặt ẩn phụ. 4. Bài xích tập: Loại 1: Giải hệ phương trình Ví dụ 1. Giải hệ phương trình $ left{ eginarraylx^2y+xy^2=30\x^3+y^3=35endarray ight.$. GIẢI Đặt $ extS=x+y, ext P=xy$, điều kiện $ S^2ge 4P$. Hệ phương trình trở thành: $ left{ eginarraylSP=30\S(S^2-3P)=35endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylP=frac30S\Sleft( S^2-frac90S ight)=35endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylS=5\P=6endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylx+y=5\xy=6endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylx=2\y=3endarray ight.vee left{ eginarraylx=3\y=2endarray ight.$ Ví dụ 2. Giải hệ phương trình $ left{ eginarraylxy(x-y)=-2\x^3-y^3=2endarray ight.$. GIẢI Đặt $ t=-y, ext S=x+t, ext P=xt$, điều kiện $ S^2ge 4P$. Hệ phương trình trở thành: $ left{ eginarraylxt(x+t)=2\x^3+t^3=2endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylSP=2\S^3-3SP=2endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylS=2\P=1endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylx=1\t=1endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylx=1\y=-1endarray ight.$ Ví dụ 3. Giải hệ phương trình $ left{ eginarraylx+y+frac1x+frac1y=4\x^2+y^2+frac1x^2+frac1y^2=4endarray ight.$. GIẢI Điều khiếu nại $ x e 0,y e 0$. Hệ phương trình tương tự với: $ left{ eginarraylleft( x+frac1x ight)+left( y+frac1y ight)=4\left( x+frac1x ight)^2+left( y+frac1y ight)^2=8endarray ight.$ Đặt $ S=left( x+frac1x ight)+left( y+frac1y ight),P=left( x+frac1x ight)left( y+frac1y ight),S^2ge 4P$ ta có: $ left{ eginarraylS=4\S^2-2P=8endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylS=4\P=4endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylleft( x+frac1x ight)+left( y+frac1y ight)=4\left( x+frac1x ight)left( y+frac1y ight)=4endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx+frac1x=2\y+frac1y=2endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylx=1\y=1endarray ight.$ Ví dụ 4. Giải hệ phương trình $ left{ eginarraylsqrtx^2+y^2+sqrt2xy=8sqrt2,, ext (1)\sqrtx+sqrty=4 ext ,,,, ext , ext , ext (2)endarray ight.$. GIẢI Điều kiện $ x,yge 0$. Đặt $ t=sqrtxyge 0$, ta có: $ xy=t^2$ và $ (2)Rightarrow x+y=16-2t$. Cầm cố vào (1), ta được: $ sqrtt^2-32t+128=8-tLeftrightarrow t=4$ Suy ra: $ left{ eginarraylxy=16\x+y=8endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylx=4\y=4endarray ight.$ Loại 2: Điều kiện tham số nhằm hệ đối xứng nhiều loại (kiểu) 1 gồm nghiệm Phương pháp giải chung: + cách 1: Đặt điều kiện (nếu có). + bước 2: Đặt $ displaystyle S=x+y,P=xy$ với đk của $ displaystyle S,P$ với (*) + cách 3: cụ $ displaystyle x,y$ bởi $ displaystyle S,P$ vào hệ phương trình. Giải hệ kiếm tìm $ displaystyle S,P$ theo $ displaystyle m$ rồi từ điều kiện (*) tìm $ displaystyle m$. Chú ý: khi ta để ẩn phụ $ displaystyle u=uleft( x ight),v=vleft( x ight)$ và $ displaystyle S=u+v,P=uv$ thì lưu giữ tìm đúng đắn điều khiếu nại của $ displaystyle u,v$. Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm đk m nhằm hệ phương trình sau có nghiệm thực: $ left{ eginarraylsqrtx+sqrty=1\xsqrtx+ysqrty=1-3mendarray ight.$ GIẢI Điều khiếu nại $ x,yge 0$ ta có: $ left{ eginarraylsqrtx+sqrty=1\xsqrtx+ysqrty=1-3mendarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylsqrtx+sqrty=1\(sqrtx)^3+(sqrty)^3=1-3mendarray ight.$ Đặt $ S=sqrtx+sqrtyge 0,P=sqrtxyge 0$, $ S^2ge 4P.$ Hệ phương trình trở thành: $ left{ eginarraylS=1\S^3-3SP=1-3mendarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylS=1\P=mendarray ight.$. Từ đk $ Sge 0,Pge 0,S^2ge 4P$ ta bao gồm $ 0le mle frac14$. Ví dụ 2.

Xem thêm: Tuyển Tập Bài Tập Trắc Nghiệm Tiếng Anh 11 Có Đáp Án Chi Tiết

Tìm đk $ displaystyle m$ để hệ phương trình $ left{ eginarraylx+y+xy=m\x^2y+xy^2=3m-9endarray ight.$ có nghiệm thực. GIẢI $ left{ eginarraylx+y+xy=m\x^2y+xy^2=3m-9endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarrayl(x+y)+xy=m\xy(x+y)=3m-9endarray ight.$. Đặt $ displaystyle S ext = ext x ext + ext y, ext P ext = ext xy,$ Hệ phương trình trở thành: $ left{ eginarraylS+P=m\SP=3m-9endarray ight.$. Suy ra $ displaystyle S$ và $ displaystyle P$ là nghiệm của phương trình $ t^2-mt+3m-9=0$. $ Rightarrow left{ eginarraylS=3\P=m-3endarray ight.vee left{ eginarraylS=m-3\P=3endarray ight.$ Từ đk ta suy ra hệ có nghiệm $ Leftrightarrow left< eginarrayl3^2ge 4(m-3)\(m-3)^2ge 12endarray ight.Leftrightarrow mle frac214vee mge 3+2sqrt3$. Loại 3: một vài bài toán giải bằng phương pháp đưa về hệ phương trình. Lấy ví dụ 1. Giải phương trình: $ displaystyle sqrt<3>x+sqrt<3>1-x ext =frac32$. GIẢI Đặt: $ displaystyle left{ eginarraylsqrt<3>x=u\sqrt<3>1-x=vendarray ight.$ . Vậy ta gồm hệ: $ displaystyle left{ eginarraylu+v=frac32\u^3+v^3=1endarray ight.$ ⇔ $ displaystyle left{ eginarraylu+v=frac32\(u+v)left< (u+v)^2-3uv ight>=1endarray ight.$ ⇔ $ displaystyle left{ eginarraylu+v ext =frac32\u.v ext =frac1936endarray ight.$ u, v là hai nghiệm của phương trình: $ displaystyle X^2-frac32X ext +frac1936 ext = ext 0$ ⇒ $ displaystyle left< eginarraylu ext =frac9+sqrt512\u ext =frac9 ext - ext sqrt512endarray ight.$ ⇒ $ displaystyle left< eginarraylx ext = ext left( frac9 ext + ext sqrt512 ight)^3\x ext = ext left( frac9 ext - ext sqrt512 ight)^3endarray ight.$ Vậy phương trình bao gồm hai nghiệm: $ displaystyle left x ight$ = $ displaystyle left left( frac9+sqrt512 ight)^3; ext left( frac9-sqrt512 ight)^3 ight$.

II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2 nhị ẨN

A. Định nghĩa: $ displaystyle left{ eginarraylf(x,y)=0,,,left( 1 ight)\f(y,x)=0,,,left( 2 ight)endarray ight.$ cách giải: mang (1) – (2) hoặc (2) – (1) ta được: $ displaystyle (x-y)gleft( x,y ight)=0$. Lúc ấy $ displaystyle x-y=0$ hoặc $ displaystyle gleft( x,y ight)=0.$ + Trường hòa hợp 1: $ displaystyle x-y=0$ kết hợp với phương trình hoặc suy ra được nghiệm. + Trường đúng theo 2: $ displaystyle gleft( x,y ight)=0$ kết phù hợp với phương trình suy ra nghiệm (trong trường thích hợp này hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng một số loại 1) và thường thì vô nghiệm. B. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải hệ phương trình $ displaystyle left{ eginarraylx^3=3x+8y,,,left( 1 ight)\y^3=3y+8x,,,left( 2 ight)endarray ight.$ (I) GIẢI lấy (1) – (2) ta được: $ displaystyle ext(x – y)( extx^ ext2 ext + xy + exty^ ext2 ext + 5) = 0$ Trường hòa hợp 1: (I) $ displaystyle Leftrightarrow left{ eginarraylx^3 ext = ext 3x ext + ext 8y\x ext = ext yendarray ight.$ ⇔ $ displaystyle left{ eginarraylx^3 ext - ext 11x ext = ext 0\x ext = ext yendarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylleft< eginarraylx ext = ext 0\x ext = ext pm sqrt11endarray ight.\x ext = ext yendarray ight.$. Trường hợp 2: (I) $ displaystyle Leftrightarrow left{ eginarraylx^2+xy+y^2+5=0\x^3+y^3=11left( x+y ight)endarray ight.$ (hệ này vô nghiệm) Vậy hệ phương trình vẫn cho có tập nghiệm: $ displaystyle left ext(x ext, y) ight\text=left ext(0 ext,0); (sqrt ext11 ext,sqrt ext11 ext); (-sqrt ext11 ext,-sqrt ext11 ext) ight$ Ví dụ 2: Giải hệ phương trình $ displaystyle left{ eginarraylx+sqrt<4>y-1=1\y+sqrt<4>x-1=1endarray ight.$ GIẢI Đặt: $ displaystyle sqrt< ext4> extx – 1 ext = u ge ext0; sqrt< ext4> exty – 1 ext = vge ext0$ Hệ phương trình trở thành: $ displaystyle left{ eginarraylu^4 ext + ext 1 ext + ext v ext = ext 1\v^4 ext + ext 1 ext + ext u ext = ext 1endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylu^4 ext + ext v ext = ext 0\v^4 ext + ext u ext = ext 0endarray ight.$ ⇔ $ displaystyle left{ eginarraylu ext = ext 0\v ext = ext 0endarray ight.$ (Do u, v ≥ 0) $ displaystyle Rightarrow left{ eginarrayl extx = 1\ exty = 1endarray ight.$. Vậy hệ bao gồm nghiệm (1,1)