Căn thức (căn bậc 2, căn bậc 3) là nội dung kiến thức và kỹ năng mà các em học ở ngay chương 1 đại số lớp 9, phần bài bác tập về căn thức cũng hay xuyên xuất hiện trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT.

Bạn đang xem: Phương pháp giải phương trình chứa căn


Có những dạng bài bác tập về căn thức như: rút gọn gàng biểu thức, tính cực hiếm của biểu thức, giải phương trình, hệ phương trình,... Mặc dù nhiên, trong nội dung bài viết này họ tập trung khám phá cách giải phương trình cất dấu căn, qua đó áp dụng giải một vài bài tập về phương trình chứa căn thức để rèn luyện kĩ năng giải toán.

I. Kỹ năng cần nhớ lúc giải phương trình cất dấu căn

• 

*

• 

*

• 

*

• 

*

• 

*
 với e ≥ 0 là hằng số

i) ngôi trường hợp: 

*
 hoặc 
*
 thì:

+ cách 1: Tìm điều kiện của x để f(x) ≥ 0

+ bước 2: Bình phương 2 vế phương trình nhằm khử căn.

+ cách 3: Giải phương trình nhằm tìm nghiệm x thỏa mãn nhu cầu điều kiện

* lấy ví dụ như 1 (Bài 25 trang 16 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm x?

a) b) 

c) d)

° Lời giải:

a) (*)

- Điều kiện: x ≥ 0, khi đó bình phương 2 vế ta có:

 

*

- Ta thấy x = 4 thỏa đk nên pt gồm nghiệm x = 4.

b)  (*)

- Điều kiện: x ≥ 0, khi đó bình phương 2 vế ta có:

 

*

- Ta thấy x = 5/4 thỏa đk nên pt có nghiệm x = 5/4.

c) (*)

- Điều kiện: x - 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1; khi đó ta có (ở bày này ta có thể rút gọn gàng hệ số trước lúc bình phương 2 vế):

 

*

 

*
 
*

- Ta thấy x = 50 thỏa đk nên pt gồm nghiệm x = 50.

d) (*)

- vì (1 - x)2 ≥ 0 ∀x yêu cầu pt xác minh với phần lớn giá trị của x.

 

*

*

→ Vậy phương trình có 2 nghiệm x = -2 hoặc x = 4

* ví dụ như 2: Giải những phương trình sau:

a)  b) 

*

° Lời giải:

a)  (*)

- Điều kiện: 

*

- khi ấy bình phương 2 vế ta được:

*
 
*

- Đối chiếu điều kiện (x ≥ 3/2) ta thấy x = một nửa không thỏa điều kiện này, nên ta KHÔNG nhấn nghiệm này. Kết luận pt vô nghiệm.

ii) ngôi trường hợp:  (*) thì ta buộc phải kiểm tra biểu thức f(x).

+) trường hợp f(x) = ax2 + bx + c = (Ax ± B)2 có nghĩa là có dạng hằng đẳng thức thì KHAI CĂN, tức là:

 

*
*

+) Nếu  không bao gồm dạng hằng đẳng thức thì ta thực hiện quá trình sau:

- cách 1: Điều kiện f(x) ≥ 0

- bước 2: Bình phương 2 vế phương trình để khử căn thức

- cách 3: Giải phương trình bậc 2 (bằng cách phân tích thành nhân tử đem đến pt tích).

* ví dụ như 1: Giải phương trình sau:

*
 (*)

° Lời giải:

- Vì: 2x2 - 8x + 8 = 2(x2 - 4x + 4) = 2(x - 2)2 phải ta có:

 

*

 

*
 
*

* ví dụ như 2: Giải phương trình sau: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Ta thấy: x2 - 4x + 6 = x2 - 4x + 4 + 2 = (x - 2)2 + 2 không có dạng (Ax ± B)2 nên ta triển khai như sau:

- Điều kiện: x2 - 4x + 6 ≥ 0 ⇔ (x - 2)2 + 2 ≥ 0 ∀x yêu cầu biểu thức xác minh với hồ hết giá trị của x.

- Bình phương 2 vế phương trình ta được:

(x - 2)2 + 2 = 11 ⇔ (x - 2)2 = 9 

*

- Kết luận: Phương trình gồm 2 nghiệm x = -1 với x = 5.

2. Giải phương trình đựng dấu căn dạng: 

*

* phương thức giải:

- cách 1: Viết đk của phương trình: 

*

- bước 2: thừa nhận dạng từng loại khớp ứng với các cách giải sau:

 ¤ nhiều loại 1: nếu như f(x) gồm dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2 thì khai căn đem lại phương trình trị tuyệt đối hoàn hảo để giải.

 ¤ các loại 2: giả dụ f(x) = Ax ± B và g(x) = Ex ± D thì cần sử dụng phương pháp bình phương 2 vế.

 ¤ các loại 3: giả dụ f(x) = Ax2 + Bx + C với g(x) = Ex ± D thì dùng phương pháp bình phương 2 vế.

 ¤ một số loại 4: nếu như f(x) = Ax2 + Bx + C cùng g(x) = Ex2 + Dx + F thì thử phân tích f(x) với g(x) thành nhân tử, nếu như chúng có nhân tử chung thì đặt nhân tử chung mang lại phương trình tích.

- cách 3: khám nghiệm nghiệm tìm kiếm được có thỏa mãn nhu cầu điều khiếu nại không kế tiếp kết luận nghiệm của phương trình.

* lấy một ví dụ 1: Giải phương trình sau:

° Lời giải:

- Ta có:  

 

*

 

*

- Vậy phương trình vô nghiệm

* lấy ví dụ như 2: Giải phương trình sau:  (*)

° Lời giải:

- Ta có: 

 

*

- Vậy phương trình tất cả vô số nghiệm x ≤ 3.

* ví dụ 3: Giải phương trình sau:

*
 

° Lời giải:

- Điều kiện: 

*

- Bình phương 2 vế ta được:

 2x - 3 = (x - 1)2 ⇔ 2x - 3 = x2 - 2x + 1

 ⇔ x2 - 4x + 4 = 0 ⇔ (x - 2)2 = 0 ⇔ x = 2.

- Đối chiếu với điều kiện ta thấy x = 2 thỏa điều kiện nên phương trình dìm nghiệm này.

- Phương trình bao gồm nghiệm x = 2.

* lấy ví dụ như 4: Giải phương trình sau:

*
 (*)

° Lời giải:

- Ta thấy: f(x) = x2 - 5x - 6 không có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2 (và vế đề xuất là dạng hàm bậc 1) yêu cầu để khử căn ta dùng phương thức bình phương 2 vế.

- Điều kiện: 

*
 khi đó ta bình phương 2 vế được:

*

*

- kiểm tra x = -10 có vừa lòng điều khiếu nại không bằng cách thay quý hiếm này vào các biểu thức điều kiện thấy ko thỏa

→ Vậy phương trình vô nghiệm.

3. Giải phương trình chứa dấu căn dạng: 

*
 

* Để giải phương trình dạng này ta thực hiện công việc sau:

- bước 1: Nếu f(x) cùng h(x) bao gồm chứa căn thì phải có điều kiện biểu thức vào căn ≥ 0.

- cách 2: Khử căn thức chuyển phương trình về dạng pt trị xuất xắc đối: |f(x)| ± |h(x)| = g(x).

- cách 3: Xét vệt trị hoàn hảo (khử trị giỏi đối) để giải phương trình.

* lấy ví dụ 1: Giải phương trình: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0.

- khía cạnh khác, ta thấy: 

*
 và 
*
 nên ta có:

 

*
 (**)

- Ta xét những trường hợp nhằm phá vết trị giỏi đối:

+) TH1: Nếu 

*
, ta có:

 

*

⇒ Phương trình bao gồm vô số nghiệm x ≥ 9.

+) TH2: Nếu

*

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 1

- thừa nhận thấy: 

*

*

- Đến trên đây xét những trường thích hợp giải tương tự ví dụ 1 làm việc trên.

4. Cách giải một trong những phương trình đựng căn khác.

i) cách thức đặt ẩn phụ để giải phương trình cất dấu căn.

* lấy một ví dụ 1: Giải phương trình sau: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0

 Đặt

*
 khi kia ta có pt (*) trở thành:

 

*

- cả hai nghiệm t số đông thỏa đk nên ta có:

 

*

 

*

(Cách giải pt bậc 2 một ẩn các em sẽ học làm việc nội dung bài bác chương sau).

* ví dụ như 2: Giải phương trình sau: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: 

*

 Đặt 

*
, lúc ấy pt(*) trở thành:

 

*

- Ta thấy pt(**) gồm dạng ngơi nghỉ mục 2) nhiều loại 3; với đk 5 - t ≥ 0 ⇔ t ≤ 5; ta bình phương 2 vế (**) được:

 t2 + 5 = (5 - t)2 ⇔ t2 + 5 = t2 - 10t + 25 ⇔ 10t = 20 ⇔ t= 2

- với t = 2 thỏa điều kiện 0≤ t ≤ 5 phải ta có:

*

→ Phương trình có nghiệm x = 6.

* ví dụ 3: Giải phương trình sau:

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x2 - 2x - 3 ≥ 0. Lúc ấy ta có:

*

 Đặt 

*
 khi đó pt(**) trở thành:

 

*

- Đối chiếu đk thì t = -5 một số loại và t = 2 nhận.

 Với t = 2 ⇒ x2 - 2x - 3 = 4 ⇔ x2 - 2x - 7 = 0 ⇔ (x2 - 2x + 1) - 8 = 0.

 

*

- đánh giá thấy 2 nghiệm x trên thỏa điều kiện nên pt có 2 nghiệm. X = 1 ± 2√2.

Xem thêm: Mark The Letter A, B, C, Or D To Indicate The Sentence That Is

ii) cách thức đánh giá bán biểu thức dưới vết căn (lớn hơn hoặc bé dại hơn 1 hằng số) để giải phương trình cất căn thức.

- Áp dụng với phương trình đựng căn thức dạng: 

*
 (với c,d>0 với c+d=e)

- PT hoàn toàn có thể cho tức thì dạng này hoặc có thể tách một thông số nào đó để có 2; 2 hay 2;