Tô pô hay tô pô học có gốc từ trong tiếng Hy Lạp là topologia (tiếng Hy Lạp: τοπολογία) gồm topos (nghĩa là “nơi chốn”) và logos (nghiên cứu), là một ngành toán học nghiên cứu các đặc tính còn được bảo toàn qua các sự biến dạng, sự xoắn, và sự kéo giãn nhưng ngoại trừ việc xé rách và việc dán dính. Do đó, tô pô còn được mệnh danh là “hình học của màng cao su“. Các đặc tính đó gọi là các bất biến tô pô. Khi ngành học này lần đầu tiên tìm ra trong những năm đầu của thế kỉ 20 thì nó vẫn được gọi bằng tiếng Latinh là geometria situs (hình học của nơi chốn) và analysis situs (giải tích nơi chốn). Từ khoảng 1925 đến 1975 nó đã trở thành lĩnh vực lớn mạnh quan trọng bậc nhất của toán học.
Bạn đang xem: Topo là gì
Thuật ngữ tô pô cũng để chỉ một đối tượng toán học riêng biệt trong ngành. Với ý nghĩa này, một tô pô là một họ của các tập mở mà có chứa tập trống và toàn bộ không gian, và nó đóng dưới các phép hội bất kì và phép giao hữu hạn. Và đây là định nghĩa của một không gian tô pô.
Một tách cà phê trở thành vòng xuyến qua sự biến dạng hình học bảo toàn các bất biến tô pô. Cả tách cà phê và bánh vòng đều có những tính chất tô pô hoàn toàn giống nhau.
Bạn đang đọc: Tô pô – Wikipedia tiếng Việt
Người ta có phát biểu rằng một nhà tô pô học là người mà không thể phân biệt được sự khác nhau giữa một cái vòng xuyến và một ca đựng bia có quai. Vì cả hai đều là vật rắn và có đúng 1 lỗ hổng, hay nói một cách chính xác là chúng đồng phôi với nhau, nghĩa là có 1 phép đồng phôi (là 1 song ánh mà ánh xạ thuận và ngược đều liên tục) giữa không gian tô pô vòng xuyến với không gian tô pô ca đựng bia có quai. Đôi khi tô pô còn được gọi là hình học về miếng cao su vì trong tô pô thì không có sự phân biệt giữa một chu tuyến của hình vuông với một đường tròn. Đường hình tròn có thể được kéo co giãn để biến dạng thành chu tuyến của hình vuông. Tuy nhiên, đường tròn thì hoàn toàn phân biệt với đường hình số 8, bởi vì không thể nào kéo giãn hình tròn để tạo thành hình số 8 mà không đục xé nó ra thêm một lỗ. Các không gian nghiên cứu trong tô pô gọi là các không gian tô pô. Chúng thay đổi từ dạng quen thuộc như không gian thực n chiều cho đến các cấu trúc vô cùng kì lạ.
Như vậy hoàn toàn có thể nói một cách nôm na rằng tô pô là một ngành nghiên cứu và điều tra về đặc tính của những cấu trúc đặc có tính siêu co và giãn, siêu biến dạng nhưng lại không hề bị cắt rời thành nhiều mảnh, không hề bị đâm thủng hay bị dán dính vào nhau .
Tô pô giới thiệu thêm một ngôn ngữ hình học mới – như là các phức đơn hình (simplicial complex), đồng luân (homotopy), đối đồng điều (cohomology), đối ngẫu Poincaré (Poincaré duality), phân thớ (fibration), không gian vec tơ tô pô (topological vector space), bó (sheaf), lớp đặc trưng (characteristic class), hàm Morse (Morse function), đại số đồng điều (homological algebra), dãy phổ (spectral sequence). Nó đã tạo ra một tác động chính đến các lĩnh vực rộng rãi của hình học vi phân (differential geometry), hình học đại số (algebraic geometry), hệ thống động lực học (dynamical system), phương trình đạo hàm riêng (partial differential equation) và hàm nhiều biến phức (several complex variables). “Hình học”, theo cách diễn giải của Michael Atiyah và trường phái của ông ngày nay, bao gồm điều kể trên. Một cách nội hàm, bộ môn này có các lĩnh vực tô pô tập điểm (point-set topology) hay tô pô đại cương (general topology) nghiên cứu về các không gian tô pô mà không có thêm các điều kiện giới hạn; trong khi các lĩnh vực khác lại nghiên cứu các không gian tô pô giống như là các đa tạp (manifold). Những lĩnh vực đó bao gồm tô pô đại số (algebraic topology) – phát triển từ tô pô tổ hợp (combinatorial topology), tô pô hình học (geometric topology), tô pô ít chiều (low-dimensional topology) – chẳng hạn lo về lý thuyết nút (knot theory), và tô pô vi phân (differential topology).
Nguồn gốc của tô pô đã được người ta biết đến từ môn hình học trong các nền văn hóa cổ đại. Gottfried Leibniz là người đầu tiên khai thác thật ngữ analysus situs, sau đó các nghiên cứu trong thế kỉ 19 đã dùng như ngày nay là tô pô. Trong tiểu luận của Leonhard Euler về Bảy cầu Königsberg đã viết về các thành quả tô pô.
Từ topology được nhà toán học người Đức Johann Benedict Listing đưa ra sử dụng lần đầu tiên năm 1847 trong Vorstudien zur Topologie, mặc dù ông đã dùng nó từ mười năm trước
Georg Cantor, cha đẻ của triết lý tập hợp, đã khởi sự điều tra và nghiên cứu kim chỉ nan tập điểm trong những khoảng trống Euclide vào nửa cuối thế kỉ 19 như thể một phần của khảo cứu về chuỗi Fourier .
Năm 1895, Henri Poincaré xuất bản tác phẩm Analyis Situs, đã giới thiệu các khái niệm về đồng luân và đồng điều.
Maurice Fréchet, thống nhất những nghiên cứu và điều tra về không gian hàm của những nhà toán học Cantor, Volterra, Arzelà, Hadamard, Ascoli và những người khác. Ông đã dẫn nhập khái niệm về khoảng trống metric trong năm 1906 .Năm 1914, Felix Hausdorff, tổng quát hóa đặc tính của khoảng trống metric và đặt ra khái niệm ” khoảng trống tô pô ” đồng thời cung ứng một định nghĩa mà thời nay gọi là khoảng trống Hausdorff .Cuối cùng, vào năm 1922 Kazimierz Kuratowski đã tổng quát hóa thêm một bước nhỏ để đạt tới khái niệm khoảng trống tô pô như lúc bấy giờ .
Thuật ngữ topologie được giới thiệu lần đầu ở Đức vào năm 1847 bởi Johann Benedict Listing trong cuốn Vorstudien zur Topologie (Những nghiên cứu trước tác về tô pô), Vandenhoeck và Ruprecht, Göttingen, pp. 67, 1948. Mặc dù vậy, Listing đã dùng chữ này từ mười năm trước. Topology, dạng Anh ngữ, đã được giới thiệu trong bản in của Solomon Lefschetz năm 1930 để thay cho tên trước đó là analysis situs. Riêng thuật ngữ topologist (nhà tô pô học), một chuyên gia trong ngành tô pô, có lẽ đã ra đời khoảng 1920.
Xem thêm: Cách Tìm Gtln Gtnn Của Biểu Thức Lớp 8, Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Nhỏ Nhất Của Một Biểu Thức
Dẫn nhập sơ khởi
Các khoảng trống tô pô được tìm thấy sẵn có trong giải tích toán học, đại số trừu tượng và hình học. Điều này đã làm cho ngành điều tra và nghiên cứu này trở thành đối tượng người tiêu dùng quan trọng trong việc thống nhất toán học. Tô pô đại cương, hay tô pô tập điểm, xác lập và điều tra và nghiên cứu những đặc tính hữu dụng của những khoảng trống và những ánh xạ như là tính liên thông, tính compact và tính liên tục. Tô pô đại số là công cụ rất mạnh để nghiên cứu và điều tra những khoảng trống tô pô và những ánh xạ giữa chúng. Nó link ” rời rạc ” và có nhiều không bao giờ thay đổi khả đoán với những ánh xạ và những khoảng trống thường là trong một phương pháp có tính hàm tử. Các luận giải từ môn tô pô đại số tác động ảnh hưởng lớn đến đại số trừu tượng và hình học đại số .
